分片段

在數學中，分片段定義的函式（也稱為分段函式或混合函式）是一個函式，是通過多個子函式而定義的，施加到主函式的域的一定的時間間隔的每個子函式（子域）。分片段實際上是一種表達函式的方式，而不是函式本身的一個特徵，但是具有額外的限定，可以描述函式的本質。例如，分段多項式函式是在其每個子域上是多項式的函式，但是每個子域上可能是不同的。 字分段也用來描述適用於每件分段定義的函式的任何屬性，但不一定保持為函式的整個域。一個函式是分段微分的或分段連續微分的，如果每個子塊在整個子域內是可區分的，即使整個函式在塊之間的點上可能是不可區分的。在凸分析中，導數的概念可以被分段函式的子導數的概念取代。儘管分段定義中的“塊”不一定是間隔，但是除非是間隔，否則函式不被稱為“分段線性”或“分段連續”或“分段可微”。

基本介紹

• 中文名：分片段
• 分類：數理科學

符號和解釋

分片段函式使用通用函式表示法來定義，其中函式的主體是函式和相關子域的數組。至關重要的是，在大多數情況下，只有有限數量的子域，每個子域必須是一個區間，以便將整個函式稱為“分片段”。例如，考慮絕對值函式的分片段定義：

對於x小於零的所有值，使用第一個函式（ - x），它將取消輸入值的符號，使負數為正數。對於x大於或等於零的所有值，使用第二個函式（x），它對輸入值本身進行簡單計算。 考慮分片段函式f（x）在x的特定值處計算：

x	f(x)	Function used
−3	3	−x
−0.1	0.1	−x
0	0	x
1/2	1/2	x
5	5	x

連續性

在兩側由不同二次函式組成的分片段函式

如果滿足以下條件，則分片段函式在給定的時間間隔內是連續的：

• 它在整個間隔中被定義
  
• 其構成函式在該間隔上是連續的
  
• 在該區間內的子域的每個端點處不存在不連續性。
  

例如，圖中的函式在其子域中是分段連續的，但在整個域中是不連續的。圖中的函式包含跳躍不連續性。

套用

在套用的數學分析中，已經發現分片段函式與人類視覺系統的許多模型一致，其中在第一階段將圖像感知為包括由邊緣分隔的平滑區域。特別是，剪下片已經被用作表示系統來提供2D和3D中該模型類的稀疏近似。

常見示例

分片段函式的具體實例包括：

• 階躍函式, 由常量函式組成的分片段函式
  
• Boxcar function,
  
• 單位階躍函式
  
• 符號函式
  

Piecewise linear function, 由線段組成的分片段函式

• 絕對值
  

破碎的冪定律, 由冪定律組成的分片段函式

樣條函式, 由多項式函式組成的分片段函式，在多項式片段連線處具有高度的平滑度

• B-樣條
  

PDIFF