分式線性變換

分式線性變換

給定滿足條件ad-bc≠0的四個復常數a,b,c,d,把由函式w=f(z)=(az+b)/(cz+d)定義的變換稱為分式線性變換,定義中的條件ad-bc≠0 是為了保證變換的保角性。分式線性變換是最簡單的共形映射,同時也是共形映射一般理論的基礎,並且具有許多幾何直觀十分明顯的重要性質。在建立邊界為圓弧或直線的區域之間的共形映射時,分式線性變換是一個非常有利的工具。

基本介紹

  • 中文名:分式線性變換
  • 外文名:linear fractional transformation
  • 所屬學科:數學(複變函數)
  • 相關概念:保角變換、分時線性函式等
基本介紹,分式線性變換的性質,定理1,定理2,定理3,定理4,

基本介紹

所給出的映射叫做分式線性變換,它有幾個特殊形式:
(1)平移變換
這是整個平面的一個平移,每一個點都移動一個向量b。
(2)旋轉變換
是實數),這是以原點為中心的一個旋轉,旋轉角為
(3)相似變換
這是一個以原點為中心,伸張係數為r的相似變換。
(4)倒數變換
它又可以分解為:
前者是一個關於單位圓周的反演變換,後者是一個關於實軸的反射變換
對任意分式線性變換,可分為兩種情況;
1.若c=0,它是一個整線性變換
可由(1)一(3)三種簡單變換疊合而成。
2.若
把它改寫成
,可由(1)—(4)四種簡單變換疊合而成。

分式線性變換的性質

定理1

任一個分式線性函式(1),給出一個從閉z平面到閉w平面的雙方單值的保角變換(這裡我們定義兩條曲線交在無窮遠處的角,等於它們在倒數變換下的象曲線在原點的交角)。

定理2

(保圓性)分式線性變換把圓周變成圓周。
這裡及下面幾個定理中,所說到的圓周,都包括直線在內,也就是說,把直線看成是通過無窮遠點的圓周。這樣,一個圓周經過分式線性變換後,究竟是變成直線還是普通圓周,只要看它上面有沒有無窮遠點就可以確定。

定理3

(保對稱點不變性)分式線性變換把對某一圓周為對稱的點,變為對這個圓周的象對稱的點。

定理4

任給z平面上三個不同的點
和w平面上的三個點
則存在唯一個分式線性變換,把
分別變為
而且這個分式線性變換可表為
這裡
如果
中的某一個是
只需在(2)式中把含有這個數的因子改為1即可,例如,當
時,(2)式成為
由保圓性可知,分式線性變換(1),把由三點
所確定的圓周C,變成由三點
所確定的圓周C',圓周C和C' 分別將z平免和w平面分成兩個區域
,而且變換(1)把由
走向
時,位在左邊的區域,變成在w平面上,由
走向
時,位在左邊的區域。
利用分式線性變換解題時,下述事實是經常有用的: 如果一個分式線性變換
滿足條件
則這個變換可以表為
(k為任意復常數).
特別地,若

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