基本介紹
- 中文名：克納斯特－塔斯基定理
- 外文名：Knaster–Tarski theorem
簡介,推論,格 (數學),參見,
簡介
設 L 是完全格並設 f : L → L 是次序保持函式。則 f 在 L 中的不動點的集合也是完全格。這個定理的一種逆命題由 Anne C. Davis 證明了: 如果所有次序保持函式 f : L → L 有不動點，則 L 是完全格。
推論
因為完全格不能是空的，這個定義特別保證 f 的至少一個不動點的存在，甚至一個“最小”(或“最大”)不動點的存在。在很多實際情況中，這是這個定理最重要的蘊涵。
f 的最小不動點是最小元素 x 使得 f(x) = x，或者等價的說，使得 f(x) ≤ x；最大不動點的對偶命題成立，它是最大的元素 x 使得 f(x) = x。
如果對於 L 的元素的遞升序列的所有 xn 有 f(lim xn)=lim f(xn)，則 f 的最小不動點是 lim f(0)，這裡的 0 是 L 的最小元素，因此給出了這個定理的更有“建設性”的一個版本。更一般的說，如果 f 是單調函式，則 f 的最小不動點是 f(0) 的固定極限，選取 α 於序數上，這裡的 f 使用超限歸納法定義: f = f ( f) 而 f 對於極限序數 γ 是 f 對於所有小於 γ 的序數 β 的最小上界。最大不動點的對偶定理成立。
例如，在理論計算機科學中，單調函式的最小不動點被用來定義程式語義。使用這個定理的一個更專門的版本，這裡的 L 被堅定為是特定集合的所有子集在集合包含次序下格。這反映了在很多套用中只使用這種格的事實。人們經常查找有是函式 f 的不動點的這種性質的最小集合。抽象釋義充分利用了 Knaster–Tarski 定理並公式給出了最小和最大不動點。
Knaster–Tarski 定理可以用於康托爾-伯恩斯坦-施洛德定理的一個簡單證明。
這個定理(對於集合的格)的一個特殊情況出現在 Bronislaw Knaster 的論文中：
在和到一個集合的在集合包含下遞增的所有子集的家族的所有函式都有至少一個不動點。
格 (數學)
在數學中，格是其非空有限子集都有一個上確界（叫並）和一個下確界（叫交）的偏序集合（poset）。格也可以特徵化為滿足特定公理恆等式的代數結構。因為兩個定義是等價的，格理論從序理論和泛代數二者提取內容。半格包括了格，依次包括海廷代數和布爾代數。這些"格樣式"的結構都允許序理論和抽象代數的描述。
