偏回歸係數

偏回歸係數是多元回歸問題出現的一個特殊性質。設自變數x1，x2，…，xm與因變數y都具有線性關係，可建立回歸方程：ŷ=b0+b1x1+b2x2+…+bmxm。式中b1，b2，…，bm為相應於各自變數的偏回歸係數。表示當其他的各自變數都保持一定時，指定的某一自變數每變動一個單位，因變數y增加或減少的數值。

基本介紹

• 中文名：偏回歸係數
• 外文名：partial regression coefficient
• 簡介：多元回歸問題出現的一個特殊性質
• 內容：各自變數對隨機變數的影響程度
• 運用：多元回歸分析
• 套用學科：心理學、統計學

概念解釋

多元線性回歸方程Y=a+b₁X+b₂X+…+b_mX_m中，各個自變數X_i的係數b_i(i=1，2，…，m)，稱為因變數Y對自變數X_i的偏回歸係數，相應的總體偏回歸係數用βi表示。b_i表示當其他自變數取值固定時，X_j變化(增加或減少)1個單位，則Y平均變化b_i個單位，是反映Y隨X_i數量變化的方向和大小(或快慢)的指標。b_i>0，Y隨X_i增加而增加；b_i<0，Y隨X_i增加而減少。|b_i|值越大，Y隨Xi變化越大(或越快)。b_i的標準誤為：

MS剩即多元線性回歸方程的方差分析表中的剩餘均方，C_ii為自變數離差矩陣[lij]m×m的逆矩陣[C_ii]m×m的對角線上的元素。bi的顯著性檢驗用t檢驗：

ν=n-m-1。零假設(H0)是βi=0。

介紹

在多元回歸分析中，隨機因變數對各個自變數的回歸係數，表示各自變數對隨機變數的影響程度。

偏回歸係數（partial regression coefficient）是多元回歸問題出現的一個特殊性質，如何理解、辨認和求取偏回歸係數正是本文要討論的。為了簡化問題，我們把對偏回歸係數的討論，限定為只有2個解釋變數的系統,即建立的經濟計量模型為Yi=β0+β1X1i+β2X2i+ui(1) ，回歸方程為^Yi=^β0+^β1X1i+^β2X2i(2)，式中^βi(i=0,1,2)為偏回歸係數。

問答

一、X1增加一個單位引起Y的增加量肯定是偏回歸係數^β1嗎?

為了回答這個命題,首先,必須進行因素影響分析,即X1,X2對Y的作用關係分析。具體講,這種作用關係有四種：其一是X1本身變化對Y的淨作用；其二是X2的變化引起X1的相應變化。

二、X1變化對Yi的影響程度到底有多大呢？

首先，在考慮偏導數的時候，我們認為其他解釋變數保持不變，即當做常數來處理（類似於微積分中的偏導數），本例中把X2看做常數，則X1變化一個單位，會引起Yi變化β1個單位，β1就為偏回歸係數

偏回歸係數的本質：就是自變數對因變數影響程度。但是，這種沒有經過任何處理的回歸係數因為有時自變數的變異程度和均數有時差別很大，直接用偏回歸係數無法比較各個自變數影響程度。 所以，必須進行處理，即進行標準化，標準化後即可以直接比較。其實，還有許多係數，都是因為自變數量綱不同，需要進行標準化，例如偏相關係數等。

偏心的回歸方程。

標準化偏回歸係數

標準化變數的多元線性回歸方程=b₁′X₁′+b₂′X₂′+…+bm′Xm′中，各個標準化自變數X_i′的係數b_i′(i=1，2，…，m)。相應的總體標準化偏回歸係數用βi′表示。標準化偏回歸係數b_i′消除了原偏回歸係數b_i的單位，表示當其他標準化自變數取值固定時，X_i′變化1個單位(即X_i變化1個標準差)，則Y′平均變化b_i′個單位(即Y平均變化b_i′個標準差)，是反映′隨X_i′數量變化的方向和大小(或快慢)的指標。標準化偏回歸係數的絕對值一般小於1。b_i′和b_i的關係為：

l_ii為X_i的離均差平方和，l_yy為Y的離均差平方和。bi′的標準誤和b_i的標準誤的關係為：

標準化偏回歸係數b_i′用以比較各自變數X_i對應變數Y的作用大小，|b_i′|值越大，X_i對Y的作用越大。但嚴格比較，要作兩個標準化偏回歸係數b_i′和b_j′的差別的顯著性檢驗，在差別有顯著性的前提下才能比較。