基本介紹
- 中文名：倍長中線
- 外文名：method of times the length of line
- 思想方法：構造全等三角形
- 目的：證明邊之間的關係
- 領域：數學平面幾何
定義,例題,
定義
“倍長中線”是指加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，然後往往需要連線相應的頂點，則對應角對應邊都對應相等。常用於構造全等三角形。中線倍長法多用於構造全等三角形和證明邊之間的關係（通常用“SAS”證明）（註：一般都是原題已經有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。
例題
例1：如圖，在△ABC中，AD⊥AC，AB=2AC，AD平分BC，求∠BAC的度數。
解：延長AD到E，使AD=DE。連線BE。
∵AD⊥AC(已知)，
∴∠EAC=90°(垂直定義)。
∵AD平分BC(已知)，
∴DB=DC(三角形中線定義）。
在△ADC和△EDB中，
例1-圖
例1-圖DA=DE（已作），
∠ADC=∠BDE(已證)，
DB=DC(已證），
∴△ADC≌△EDB（S.A.S)。
∴AC=BE（全等三角形對應邊相等）。
∴∠E=∠EAC=90°（全等三角形對應角相等）。
∵AB=2AC（已知），
∴AB=2BE（等量代換）。
即AB/2=BE。
∴∠BAE=30°（一條直角邊等於斜邊的一半的直角三角形，這條直角邊所對的角為30°）。
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°+90°=120°（等式性質）。
例2：如圖，在△ABC中，AB=5a，AC=3a（a>0），求中線AD的取值範圍。
解：延長AD至AE，交BC於D，使DE=AD。連線EC。
∵∠EDC和∠BDA是對頂角，
∴∠EDC=∠BDA。
又∵D是BC的中點，
∴BD=DC。
在△ABD和△CDE中：
DE=AD，
∠EDC=∠BDA，
BD=DC，
例2-圖
例2-圖∴△ABD≌△CDE(SAS)。
∴AB=EC=5a。
∵△ACE，
∴AC+EC>AE>EC-AC。
又∵AC=3a，EC=5a，
∴AE的取值範圍為：5a+3a>AE>5a-3a。
即8a>AE>2a。
由題意得：AE=2AD，
∴8a>2AD>2a。
即4a>AD>a。
