基本介紹
概念,滿足條件,基本定理,複變函數論,解析函式,
概念
又稱保形映照。解析函式實現的映射有許多重要性質，如“解析函式將區域映射為區域”，“解析函式在其導數不為零的點的鄰域內映射是雙方單值的。”但最重要的映射特徵是：雙方單值的解析映射一定是保形映射。
滿足條件
所謂保形映射是指滿足以下兩個條件的映射：①過一定點的曲線的正向切線到其象曲線上對應點的正向切線的轉角是一個與曲線的選擇無關的常數，稱其為映射在定點的轉動角度。②過一定點的象曲線上一動點到定點的距離與原象曲線上對應點的距離之比，當動點沿曲線趨向定點時的極限為一與曲線的選取無關的常數，稱其為映射在定點的伸縮率。上述性質①有一種等價的形式：①′ 過定點的任意兩條曲線經映射後其轉角的大小及方向均不變，形象地稱這一性質為同向保角性 ，①′與②一起表明在一定點附近的一個小三角形，與其象“三角形”（一般是曲邊三角形）近似地同向相似，稱其為保形映射。
基本定理
保形映射的基本定理是黎曼映射存在唯一性定理，它斷言：若D 是一個邊界點集多於一個點的單連通區域，Z0∈D ，則一定存在唯一確定的解析函式w=f（Z）將D雙方單值保形映射為單位圓|w|0，這一定理在1851年作為 B.黎曼的博士論文題目提出後，100多年來已被許多數學家用多種方法證明，並將其推廣到多連通區域的情形，在黎曼映射定理提出之後，C. 卡拉西奧多里證明了邊界對應定理，即在黎曼映射定理的條件下 ，若бD= L是一條簡單閉曲線，則映射函式f （Z） 可以連續開拓到L上且實現L與|w|=1之間的雙方單值連續映射。
複變函數論
研究定義在複數平面上的函式性質的科學。它既是數學的 分支，也是函式論的分支。它的研究對象是定義在復 數集上的一種特殊的複變函數類——解析函式。復變 函式的理論可分為單複變函數和多複變函數。單復變 函式理論亦稱解析函式論。又因複變函數是數學分析中的一元實變函式的推廣，亦稱為複分析。
複變函數論萌芽於18世紀末歐拉 (L. Euler， 1707～1783)、達朗貝爾(J.L.R.D′Alembert，1717～ 1783)和拉普拉斯(P.S，de Laplace，1749～1827)的研 究工作。19世紀初德國數學家高斯(J.K.F.Gauss， 1777～1855)和法國數學家泊松(S.D.Poisson，1781～ 1840)提出了複變函數論的基本概念，後來，法國數 學家柯西(Cauchy)、德國數學家維爾斯特拉斯 (K.Weierstrass，1815～1897) 和黎曼(G.F.B.Riemann，1826～1866)共同創立了複變函數論。19世紀，這 門學科得到了飛躍發展而趨於成熟，並滲入到代數 學、解析函式論、微分方程、機率統計、計算數學和 拓撲學等數學分支，同時在熱力學、流體力學和電學 等方面也得到廣泛套用。
複變函數論主要研究內容包括：①解析函式的基 本理論研究；②黎曼面與共形映象的理論研究；③整函式與半純函式的理論研究；④特殊函式論以及調和函式論等。複變函數論不僅為流體力學、電動力學、 彈性力學和傳熱理論等學科的發展和工程技術的發明與設計提供新的數學工具，同時對數學其他分支學科，特別是微分方程理論發展具有重要影響。
解析函式
能局部展成冪級數的函式，它是複變函數論研究的主要對象。解析函式類包括了數學及其在自然科學和技術套用中所遇到的大多數函式，這類函式關於算術、代數和分析的各種基本運算是封閉的，解析函式在其自然存在的域中代表唯一的一個函式，因此，對解析函式的研究具有特殊的重要性。
對解析函式的系統研究開始於18世紀。歐拉在這方面做出許多貢獻。拉格朗日最早希望建立系統的解析函式理論，他曾試圖利用冪級數的工具來發展這種理論，但未獲成功。
法國數學家柯西以他自己的工作被公認為是解析函式理論的奠基者。1814年他定義正則函式為導數存在且連續，他批判了過去許多錯誤的結果，創立了若干法則，以保證級數運算的可靠性。1825年他得到了著名的柯西積分定理，隨後又建立了柯西積分公式。柯西利用這些工具得到了正則函式在它的定義域內處處可表為收斂的冪級數的結果，其逆命題亦真。所以解析和正則是等價的。後來黎曼對柯西的工作做出了重要的發展。1900年，法國數學家古爾薩改善了正則函式的定義，只要求函式在定義域中處處有導數。
外爾斯特拉斯以冪級數為出發點開展對解析函式的研究。他定義正則函式為可以展開為冪級數的函式，創立了解析開拓理論，並利用解析開拓定義完全解析函式。柯西的方法限於研究完全解析函式的所謂單值分支，必須通過解析開拓才能和外爾斯特拉斯的理論統一起來。
