伽瑪分布

伽瑪分布是統計學中的一種連續機率函式，包含兩個參數α和β，其中α稱為形狀參數，β稱為尺度參數。

基本介紹

• 中文名：伽瑪分布
• 外文名：Gamma distribution
• 領域：統計學
• 參數：形狀參數，尺度參數
• 特例：指數分布，卡方分布
• 類型：連續性機率分布

定義

若連續隨機變數 的機率密度為

則稱隨機變數 服從伽瑪（Gamma）分布，記為 .其中 為形狀參數， 為尺度參數，如圖所示。

機率密度曲線

若干性質及證明

(1)

(2)當 時，伽瑪分布的機率密度化為

則稱隨機變數 服從標準的伽瑪分布。

當 時，伽瑪分布的機率密度為

此時， ，稱為 服從標準指數分布。

當 ，伽瑪分布的機率密度化為

此時， 。

(3)設 ，令 ，則

(4)設 ，稱其為不完全伽瑪分布。顯然，它是標準伽瑪分布 的分布函式。伽瑪分布 的分布函式 .

(5)

(6)伽瑪分布的特徵函式為 矩母函式為

證明：由特徵函式的定義得

同理，得到伽瑪分布的矩母函式的表達式。

(7)設隨機變數 獨立，且 ，則

證明：隨機變數 的特徵函式為 ，又由於隨機變數 獨立，則 的特徵函式為

即

(8)設隨機變數獨立同分布，且，則.

證明：隨機變數的特徵函式為，又由於隨機變數獨立，則的特徵函式為

即。

(9)若，則對任意的，有

證明：

(10)若均勻分布，，則。

證明：隨機變數的分布函式為

隨機變數的函式的分布函式為

隨機變數的函式的分布密度為.

套用

伽瑪(Gamma)分布所包含的曲線形式較多，它已被許多統計問題所採用。例如，水文學中的年最大洪水及最大徑流量問題，氣象預報中的月最大風速及最大風壓問題，可靠性中產品失效前的工作時間問題，海洋學中年海浪最大波高問題，化學實驗中的反應時間問題，生態學中多個群體的總增長速度問題，經濟統計中單位時間內個人的最大收入問題，等等。都逐漸使用伽瑪分布的各種曲線來擬合。另外伽瑪分布在保險、經濟數據分析中的套用也很廣泛，尤其當伽瑪分布具有較大的形狀參數時，即對具有適當的樣本容量的數據提供了合適的擬合。