伏安法與歐姆定律

歐姆第一階段的實驗是探討電流產生的電磁力的衰減與導線長度的關係，其結果於1825年5月在他的第一篇科學論文中發表。

歷史

在這個實驗中，他碰到了測量電流強度的困難。在德國科學家施威格發明的檢流計啟發下，他把斯特關於電流磁效應的發現和庫化扭秤方法巧妙地結合起來，設計了一個電流扭力秤，用它測量電流強度。歐姆從初步的實驗中發出，電流的電磁力與導體的長度有關。其關係式與今天的歐姆定律表示式之間看不出有什麼直接聯繫。歐姆在當時也沒有把電勢差（或電動勢）、電流強度和電阻三個量聯繫起來。

在歐姆之前，雖然還沒有電阻的概念，但是已經有人對金屬的電導率（傳導率）進行研究。歐姆很努力，1825年7月，歐姆也用上述初步實驗中所用的裝置，研究了金屬的相對電導率。他把各種金屬製成直徑相同的導線進行測量，確定了金、銀、鋅、黃銅、鐵等金屬的相對電導率。雖然這個實驗較為粗糙，而且有不少錯誤，但歐姆想到，在整條導線中電流不變的事實表明電流強度可以作為電路的一個重要基本量，他決定在下一次實驗中把它當作一個主要觀測量來研究。

在以前的實驗中，歐姆使用的電池組是伏打電堆，這種電堆的電動勢不穩定，使他大為頭痛。後來經人建議，改用鉍銅溫差電偶作電源，從而保證了電源電動勢的穩定。

1826年，歐姆用上面圖中的實驗裝置導出了他的定律。在木質座架上裝有電流扭力秤，DD'是扭力秤的玻璃罩，CC'是刻度盤，s是觀察用的放大鏡，m和m'為水銀杯，abb'a'為鉍框架，鉍、銅框架的一條腿相互接觸，這樣就組成了溫差電偶。A、B是兩個用來產生溫差的錫容器。實驗時把待研究的導體插在m和m'兩個盛水銀的杯子中，m和m'成了溫差電池的兩個極。

歐姆準備了截面相同但長度不同的導體，依次將各個導體接入電路進行實驗，觀測扭力拖拉磁針偏轉角的大小，然後改變條件反覆操作，根據實驗數據歸納成下關係：

x=q/(b+l)式中x表示流過導線的電流的大小，它與電流強度成正比，A和B為電路的兩個參數，L表示實驗導線的長度。

1826年4月歐姆發表論文，把歐姆定律改寫為：X=KSA/L，S為導線的橫截面積，K表示電導率，A為導線兩端的電勢差，L為導線的長度，X表示通過L的電流強度。如果用電阻l'=L/KS代入上式，就得到X=A/I'這就是歐姆定律的定量表達式，即電路中的電流強度和電勢差成正比而與電阻成反比。為了紀念歐姆對電磁學的貢獻，物理學界將電阻的單位命名為歐姆，以符號Ω表示。

電阻的單位歐姆簡稱歐。1歐定義為：當導體兩端電勢差為1伏特，通過的電流是1安培時，它的電阻為1歐。

一個導體的電阻R不僅取決於導體的性質，它還與工作點的溫度有關。對於有些金屬、合金和化合物，當溫度降到某一臨界溫度T°C時，電阻率會突然減小到無法測量，這就是超導電現象。

導體的電阻與溫度有關。一般來說，金屬導體的電阻會隨溫度升高而增大，如電燈泡中鎢絲的電阻。半導體的電阻與溫度的關係很大，溫度稍有增加電阻值即會減小很多。通過實驗可以找出電阻與溫度變化之間的關係，利用電阻的這一特性，可以製造電阻溫度計（通常稱為“熱敏電阻溫度計”）。

部分電路歐姆定律

部分電路歐姆定律公式：I=U/R

其中：I、U、R——三個量是屬於同一部分電路中同一時刻的電流強度、電壓和電阻。

伏安法測電阻

基本原理

伏安法測電阻的基本原理是歐姆定律 ，只要測出元件兩端電壓和通過的電流，即可由歐姆定律計算出該元件的阻值。

測量電路的系統誤差控制

圖1

（1）當R_X遠大於R_A時，電流表內接；當臨界阻值時，採用電流表的內接；當採用電流表內接時，電阻測量值大於真實值，即R_測>R_真（如圖1所示）。

（2）當R_X遠小於R_A時，電流表外接；當臨界阻值時，採用電流表的外接；當採用電流表外接時，電阻的測量值小於真實值，即 R_測<R_真（如圖2所示）。

圖2

控制電路的安全及偶然誤差

根據電路中各元件的安全要求及電壓調節的範圍不同，滑動變阻器有限流接法與分壓接法兩種選擇。

選用分壓式或限流式的一般原則：

通常情況下（滿足安全條件），由於限流電路能耗少，且結構簡單，所以一般優先考慮限流式接法。

以下三種情況，必須選擇分壓接法。

（1）要使某部分電壓或電流從0開始連續調節

（2）若實驗提供的電壓（流）表的量程，或電阻元件允許的最大電流（壓）較小，採用限流接法時，無論怎樣調節，電路中的實際電流（壓）都會超過允許的最大值，為保證電路安全，必須保證分壓式接法。

（3）在伏安法測電阻實驗中，若所用變阻器的阻值，小於待測電阻的阻值，採用限流接法時，待測電阻上電流（壓）變化很小，不利於多次測量取平均值，為了在變阻器阻值小於待測電阻的阻值，能大範圍的調節待測電阻上的電流（壓）。應選用分壓式接法。

伏安法測電阻：內接法的選擇（大內偏大，小外偏小）

伏安法測電阻基本情景變式

1. 無電流表。根據伏安法測電阻的基本原理可知，無電流表時只要找到能夠等效替代電流表的其他器材即可，比如：

（1）已知電阻與理想電錶並聯替代電流表（如圖5所示）；

（2）用已知內阻的電壓表替代電流表（如圖6所示）；

（3）無電錶時的替代法（如圖7所示）；

（4）無電流表時的半偏法（測量電壓表內阻）（如圖8所示）。

2. 無電壓表。根據伏安法測電阻的基本原理可知，無電壓表時只要找到能夠等效替代電壓表的其他器材即可，比如：

（1）已知電阻與理想電流表串聯替代電壓表（如圖9所示）；

（2）無電壓表時的等效替代法（如圖10所示）；

（3）無電壓表時的半偏法（測表頭內阻）（如圖11所示）。

3. 把實驗題當作計算題處理。

（1）根據閉合電路歐姆定律列方程求解待測量；

（2）根據歐姆定律的變式 求解電阻。在利用伏安法測電源的電動勢和內阻的實驗中，只要測出外電路的電壓變化量和電流的變化量（外電壓的變化量始終等於內電壓的變化量），就可以求出電源的內阻 。

4.器材選擇

選擇原則：

滑動變阻器採用阻值變化範圍較小，而額定電流較大，電壓表的選擇，滿足量程要求的前提下，採用內阻較大的電流表的選擇應根據電源電動勢和選用的滑動變阻器來確定。

所推公式

串聯電路

I_總=I₁=I₂(串聯電路中，各處電流相等)

U_總=U₁+U₂（串聯電路中，總電壓等於各處電壓的總和）

R_總=R₁+R₂+......+R_n

U₁：U₂=R₁：R₂

並聯電路

I_總=I₁+I₂（並聯電路中，幹路電流等於各支路電流的和）

U_總=U₁=U₂ （並聯電路中，各處電壓相等）

1/R_總=1/R₁+1/R₂

I₁：I₂=R₂：R₁

R_總=R₁·R₂\（R₁+R₂）

R_總=R₁·R₂·R₃：R₁·R₂+R₂·R₃+R₁·R₃

即1/R_總=1/R₁+1/R₂+……+1/R_n

I=Q/T 電流=電荷量/時間 (單位均為國際單位制）

也就是說：電流=電壓/ 電阻

或者 電壓=電阻×電流（只能用於計算電壓、電阻，並不代表電阻和電壓或電流有變化關係）

歐姆定律通常只適用於線性電阻，如金屬、電解液（酸、鹼、鹽的水溶液）。

全電路歐姆定律(閉合電路歐姆定律)

I=E/(R+r)

其中E為電動勢,r為電源內阻,內電壓U_內=Ir,E=U_內+U_外

適用範圍:純電阻電路閉合電路中的能量轉化:

E=U+Ir

EI=UI+I²R

P_釋放=EI

P_輸出=UI

純電阻電路中

P_輸出=I²R

=E²R/(R+r)²

=E²/(R²+2r+r²/R)

當 r=R時，P_輸出最大，P_輸出=E²/4r (均值不等式)

功率與電阻的關係

歐姆定律例題

1.由歐姆定律導出的電阻計算式R=U/I，

以下結論中，正確的為

A、加在導體兩端的電壓越大，則導體的電阻越大

B、 通過導體的電流越大，則導體的電阻越小

C、 導體的電阻跟它兩端的電壓成正比，跟電流成反比

D、導體的電阻值等於導體兩端的電壓與通過導體的電流的比值

2、一個導體兩端加有電壓為6V時，通過它的電流大小為0.2A，那么該導體的電阻為 Ω,若兩端的電壓為9V時,通過導體的電流為 A。若電路斷開，那么通過導體的電流為 A。此導體的電阻為 Ω。

3、 一個導體兩端的電壓為15V時，通過導體的電流為3A，若導體兩端的電壓增加3V，那么此時通過導體的電流和它的電阻分別為

A 0.6A 5Ω B 3.6A 5Ω

C 3.6A 1Ω D 4A 6Ω

4、一隻電阻當其兩端電壓從2V增加到2.8V時，通過該電阻的電流增加了0.1A，那么該電阻的阻值為

A 8Ω B 20Ω

C 28Ω D 18Ω

5、一個定值電阻阻值為20Ω，接在電壓為2V的電源兩端。那么通過該電阻的電流是 A。若通過該電阻的電流大小為0、15A，則需要在電阻兩端加上 V的電壓。

6、有甲、乙兩個導體，甲導體的電阻是10Ω，兩端電壓為3V；乙導體電阻是5Ω，兩端電壓為6V。那么通過兩導體的電流

A I_甲=6V/10Ω=0.6A I_乙=3V/10Ω=0.3A

B I_甲=3V/10Ω=0.6A I_乙=6V/5Ω=0.3A

C I_甲=6V/5Ω=1.2A I_乙=6V/10Ω=0.6A

D I_甲=3V/10Ω=0.3A I_乙=3V/5Ω=0.6A

歐姆定律的微分形式

在通電導線中取一圓柱形小體積元，其長度ΔL，截面積為ΔS，柱體軸線沿著電流密度J的方向，則流過ΔS的電流ΔI為：

ΔI=JΔS

由歐姆定律：ΔI=JΔS=-ΔU/R 由電阻R=ρΔL/ΔS，得：

JΔS=-ΔUΔS/(ρΔL）

又由電場強度和電勢的關係，-ΔU/ΔL=E，則：

J=1/ρ×E=σE

（E為電場強度，σ為電導率）

試題剖析

範例導引一

（05年高考題）測量電源B的電動勢E及內阻r（E約為4.5V，r約為1.5 ）。器材：量程3V的理想電壓表，量程0.5A的電流表（具有一定內阻），固定電阻 ，滑動變阻器 ，電鍵K，導線若干。

(1)畫出實驗電路原理圖。圖中各元件需用題目中給出的符號或字母標出。

(2)實驗中，當電流表讀數為I₁時，電壓表讀數為U₁；當電流表讀數為I2時，電壓表讀數為U₂。則可求出E=__________，r=_________。（用I₁、I₂、U₁、U₂及R表示）

解析：本題是常規伏安法測電源電動勢和內阻實驗的情景變式題，本題與課本上實驗的區別是電源電動勢大於理想電壓表的量程，但題目中提供的器材中有一個阻值不大的固定電阻，這就很容易把該情景變式題“遷移”到學過的實驗上。把固定電阻接在電源的旁邊，把它等效成電源的內阻即可（如圖12所示），把電壓表跨接在它們的兩側，顯然，“內阻增大，內電壓降落增大”，電壓表所測量的外電壓相應減小，通過定量計算，符合實驗測量的要求。這樣，一個新的設計性實驗又回歸到課本實驗上。

<1>實驗電路原理圖如圖13所示；

<2>根據 ，對於一個給定的電源B的電動勢E及內阻r是一定的，I和U都隨滑動變阻器 的改變而改變，只要改變 的阻值，即可測出兩組I和U數據，列方程組得：

解(1)(2)方程組可得

註：也可直接用歐姆定律的變式 求內阻r。

本題所提供的理想電壓表量程小於被測電源電動勢，需要學生打破課本實驗的思維和方法定勢，從方法上進行創新，運用所提供的器材創造性地進行實驗設計。

範例導引二

（04年高考實驗題）用以下器材測量一待測電阻 的阻值（900－1000 ）；

電源E，具有一定內阻，電動勢約為9.0V；

電壓表V₁，量程1.5V，內阻 ；

電壓表V₂，量程5V，內阻 ；

滑線變阻器R，最大阻值約為100 ；

單刀單擲開關S，導線若干。

（1）測量中要求電壓表的讀數不小於其量程的 ，試畫出測量電阻 的一種實驗電路原理圖（原理圖中的元件要用相應的英文字母標註）。

（2）根據你所畫的電路原理圖在所給的實物上畫出連線。（實物圖略）

（3）若電壓表V₁的讀數用U₁表示，電壓表V₂的讀數用U₂表示，則由已知量和測得量表示 的公式為 ____________。

解析 1. 畫實驗電路原理圖

（1）測量方法的選定。本題提供了兩隻電壓表，在沒有電阻箱和定值電阻的情況下，不能用替代法和等效測量法，只能用伏安法測量。

（2）推斷電路接法。在選用伏安法測量後，提供的電壓表中必定有一隻電壓表要做電流表使用。

由於待測電阻 的阻值範圍在900－1000 之間，而電壓表V₁，內阻 ，電壓表V₂，內阻 ，待測電阻阻值與電壓表內阻阻值比較接近，不存在 明顯關係，所以“電流表”內接和“電流表”外接應該都是可行的。

（3）角色定位。

<1>將電壓表V₂作為電流表使用，實驗電路原理圖如圖14所示，該情況下，r₁與 並聯的最小電阻 ， 串聯總電阻 。按題設要求電壓表V₁的讀數不小於其量程的 。從電壓的角度考慮，降落在電壓表V₁上的電壓降應不低於 ， 並聯再與 串聯，根據串聯電路的電壓分配：

若電壓表V2上的電壓降能達到3.0V，即能滿足題設的讀數不小於其量程的 的要求。要想電路中電壓值恰當，只要將電路接成分壓電路，圖14所示電路能滿足試題要求。同理，如果把電壓表V1當作電流表使用，接成14所示電路，將不行。

<2>將電壓表V₁作為電流表使用，實驗電路可接成電流表內接法，如圖15所示，電壓表V1與待測電阻 串聯，串聯的電阻為 ，由於電壓表V₂與電壓表V₁和待測電阻串聯後並聯，故 ，所以

，這個讀數能使電壓表V₁的指針超過滿偏的 。

由上述分析和計算，兩個電壓表的讀數均不低於其量程的 ，要想滿足上述條件，電路也要接成分壓電路，圖15所示電路能滿足試題要求。同理，如果把電壓表V₂當電流表使用，接成15所示電路，也將不行。

2. 實物連線（略）

3. 測電阻 的表達式

<1>按圖14所示接法，設測量時電壓表V₁、V₂的示數分別為U₁，U₂， 而 ，解得 。

<2>按圖15所示接法，設測量時電壓表V₁、V₂的示數分別為U₁、U₂，有 成立，故 。

範例導引三

（00年高考實驗題）從下表中選出適當的實驗器材，設計一電路來測量電流表A₁的內阻r₁，要求方法簡捷，有儘可能高的測量精度，並能測得多組數據。

（1）在虛線方框中畫出電路圖，標明所用器材的代號。

器材（代號）

規格

電流表（A₁）

電流表（A₂）

電壓表（V）

電阻（R₁）

滑動變阻器（R₂）

電池（E）

電鍵（K）

導線若干

量程10mA，內阻r₁待測（約40 ）

量程500 ，內阻r₂=750

量程10V，內阻r₃=10k

阻值約1000 ，作保護電阻用

總電阻約50

電動勢1.5V，內阻很小

（2）若選測量數據中的一組來計算r₁，則所用的表達式為r₁=_____________，式中各符號的意義是：_____________。

解析：（1）電流表本身讀數可測得電流，若用電壓表V測電壓，由於A₁兩端最大電壓為 ，故電壓表的量程太大，不可取，故只能用電流表A2作電壓表用，其量程為 ，因需多測幾組數據，電源電路必須用分壓電路，作出實驗電路圖如圖16所示。

（2）合上電鍵K兩表讀數分別記為I₁、I₂，則 。

這裡用來測量電壓的不是電壓表，而是電流表，它與被測的電流表A₁並聯。實際上，它是通過比較A₁、A₂兩表的電流，進而來比較兩電流表的內阻大小關係，即運用了比較的方法來進行實驗。

概況

近幾年的高考中，實驗命題不再局限於課本，出現了一些利用教學大綱所列的實驗的原理、方法、器材重新組合的實驗考題；同時，編制了一些半開放的試題，運用一些簡單的、設計性的實驗來考查考生獨立解決問題的能力、遷移能力。因此，考生必須掌握好物理實驗的基本技能，並能獨立地完成考試大綱中所列的實驗，善於總結實驗過程套用的物理原理和實驗方法，進而套用學過的原理和方法去創新設計實驗，處理與實驗相關的問題。