伊藤引理

在隨機分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一條非常重要的性質。發現者為日本數學家伊藤清，他指出了對於一個隨機過程的函式作微分的規則。

基本介紹

• 中文名：伊藤引理
• 外文名：Itō's lemma
• 發現者：伊藤清
• 地區：日本

伊藤引理較早版本

第一引理

設布朗運動以及二次可導函式，以下等式成立：

其主要可通過對多項式環到形式冪級數的拓展，例如：

第二引理

設布朗運動以及二次可導函式，以下等式成立：

第三引理

定義伊藤過程 又稱擴散過程有以下特性：

到半鞅的拓展

連續半鞅

不連續半鞅

泊松過程

我們也可以定義非連續隨機過程的函式。

定義跳躍強度h，根據跳躍的泊松過程模型，在區間上出現一次跳躍的機率是加上的高階無窮小量。h可以是常數、顯含時間的確定性函式，或者是隨機過程。在區間[0,t]上沒有跳躍的機率稱為生存機率，其變化是：

因此生存機率為：

定義非連續隨機過程S(t)，並把記為從左側到達''t''時''S''的值，記是一次跳躍導致S(t)的非無窮小變化。有：

是跳躍幅度''z''的[[機率分布]]，跳躍幅度的期望值是：

定義補償過程和[[鞅]]:

因此跳躍的非無窮小變化，也就是隨機過程的跳躍部分可以寫為

因此如果隨機過程S同時包含漂移、擴散、跳躍三部分，可以寫為：

考慮其函式。S(t)跳躍的幅度，會導致g(t)跳躍幅度。取決於的跳躍分布，有可能依賴於跳躍前的函式值，函式微分''dg''以及跳躍前的自變數值。的跳躍部分是：

函式的伊藤引理是：

可以看到，漂移-擴散過程與跳躍過程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。

套用

伊藤引理是研究隨機過程和解隨機微分方程的重要特性，在金融數學里有廣泛的套用。例如布萊克-斯科爾斯模型