交錯級數

交錯級數是正項和負項交替出現的級數，形式滿足a1-a2+a3-a4+.......+(-1)^(n+1)an+......，或者-a1+a2-a3+a4-.......+(-1)^(n)an，其中an>0。在交錯級數中，常用萊布尼茨判別法來判斷級數的收斂性，即若交錯級數各項的絕對值單調遞減且極限是零，則該級數收斂；此外，由萊布尼茨判別法可得到交錯級數的餘項估計。最典型的交錯級數是交錯調和級數。

基本介紹

• 中文名：交錯級數
• 外文名：alternating series
• 表達式：a1-a2+a3-a4-.......+(-1)^(n+1)an
• 套用學科：高等數學
• 適用領域範圍：數學
• 本質：結構最簡單的是正負號相間的級數

定義

若級數的各項符號正負相間，即形如

的級數叫做交錯級數。

換句話說：交錯級數是正項和負項交替出現的級數。

注意：上式中-1的次數也可以為n，即奇數項為負，偶數項為正。

收斂性判別

萊布尼茨判別法

定理內容

如果交錯級數 滿足以下兩個條件：

（1）數列單調遞減；

（2） ；

那么該交錯級數收斂，且其和滿足。

證明過程

考慮交錯級數的部分和數列，它的奇數項和偶數項分別為：

∵單調遞減

∴上述二式中括弧內的每一項均為非負數

∴單調遞減，單調遞增。

∵，且

∴是一個閉區間套

由閉區間套定理，存在唯一實數，並且

∴

故數列收斂，即級數收斂。

適用範圍

注意，萊布尼茨定理所給出的條件（1）是充分非必要條件，即對非單調遞減的數列{u_n}，交錯級數既可能收斂，也可能發散。

換句話說，萊布尼茨定理僅僅給出了判斷交錯級數收斂的充分條件，卻沒有給出判斷交錯級數發散的條件；同時，如果交錯級數滿足該定理的條件，也無法判斷級數是絕對收斂還是條件收斂。

推論（餘項估計）

如果交錯級數滿足萊布尼茨判別法的兩個條件，則該級數的餘項估計式為：。

典例

例1（交錯調和級數）

知，易得數列單調遞減，且，即該數列滿足萊布尼茨判別法，故交錯調和級數是收斂的。

例2

判定級數的斂散性。

解：已知該級數是交錯的，我們試圖驗證它滿足萊布尼茨判別法的條件（1）和（2）。

數列遞減並不顯然。但是，如果我們考慮與它相應的函式，我們發現。當時，，因此在上遞減，這表明當時，，且，該不等式可直接驗證，故條件（1）滿足。

條件（2）由洛必達法則易證：，故有，條件（2）滿足。

因此，由萊布尼茨判別法可得，該級數是收斂的。