二次不等式

二次不等式(quadratic inequality)是一種整式不等式，指的是未知數的最高次數是二次的不等式，如x+y>4，常見的二次不等式有：一元二次不等式、二元二次不等式等，其中二元二次不等式可參考圓、橢圓、雙曲線、拋物線等的表達式和圖像。

基本介紹

• 中文名：二次不等式
• 外文名：quadraticinequality
• 所屬學科：數理科學
• 別名：n元二次不等式
• 特點：未知數的最高次數是二次的不等式
• 釋義：未知數的最高次數是二次的不等式

定義

當不等式兩端是含有n個(n是自然數)未知數的整式時，則根據整式的次數分別叫做n元一次不等式，n元二次不等式等等。例如，不等式 是一元一次不等式， 是一元二次不等式；而不等式 則是二元二次不等式。二次不等式(quadratic inequality)是一種整式不等式，如果整式不等式的次數是2，則稱為二次不等式，若二次不等式有n個未知數，則稱為n元二次不等式。

一元二次不等式

定義：含有一個未知數，且的未知數的最高次數是二次的不等式叫作一元二次不等式。

一元二次不等式的解法：

(1)一元二次不等式，設相應的一元二次方程的兩根為。

若，一元二次不等式的解集為；

若，一元二次不等式的解集為；

若，解集為R。

(2)一元二次不等式，設相應的一元二次方程的兩根為。

若，一元二次不等式的解集為；

若，一元二次不等式的解集為；

若，一元二次不等式的解集為。

二元二次不等式

定義1 一個二元二次方程表示一條圓錐曲線，為簡便計，這裡只研究具有標準形式(非退化)的圓錐曲線方程所對應的不等式表示的區域。

定義2 平面上所有滿足二元二次不等式(不全為零)的點的集合，叫作這個二元二次不等式表示的區域，這裡“V”表示“>”，“<”，“≥”，“≤”四種中的一種。

定理1 在曲線所劃分的每個平面開區域內，多項式或者永遠是正的，或者永遠是負的。

定理2 不等式表示橢圓的外部的開區域；不等式表示橢圓的內部的開區域（圖1，圖2）。

圖1

圖2

定義3 設圓錐曲線方程c：

稱含有焦點的區域為圓錐曲線的內域，不含焦點的區域為圓錐曲線的外域 （證明過程請參考相應參考資料）。

定理3 點和在(1)的同一區域(或不同區域)的充要條件是

定理4 點在圓錐曲線的內域(或外域)的充要條件是

其中

推論： 的解域是橢圓的內域(或外域)；

的解域是雙曲線的內域(或外域)；

的解域是拋物線的內域(或外域)。