不適定問題

不適定問題

經典的數學物理方程定解問題中,人們只研究適定問題。適定問題是指定解滿足下面三個要求的問題:① 解是存在的;② 解是唯一的;③ 解連續依賴於定解條件,即解是穩定的。這三個要求中,只要有一個不滿足,則稱之為不適定問題。

基本介紹

  • 中文名:不適定問題
  • 外文名:ill-posed problem
  • 漢語拼音:bushiding wenti
  • 定義:連續使其離散化從而取得數值解
簡介,例舉,套用,套用當初,套用領域,發展,求解條件,求解備註,

簡介

20 世紀50 年代,前蘇聯數學家吉洪諾夫(A.H.Tychonoff) 提出的正則化方法是較為重要的一種。

例舉

不適定問題的最典型的例子是拉普拉斯方程的柯西問題。其他的一些不適定問題有:第一種弗雷德霍姆積分方程、反向熱導方程的邊值問題波動方程狄利克雷問題和不少微分方程的反問題,等等。
第一類弗雷德霍姆積分方程
其中,a,b 是常數,K(x,s)、f(x) 都是已知函式,φ(s) 是未知的。一般說來該方程是無解的;即使有解,解也不一定唯一;而且即使存在唯一解,解也是不穩定的。對於一個給定的定解問題,如果條件 ③不滿足,那么就稱為阿達馬(J.Hadamard)意義下的不適定問題,如阿達馬例。其他一些不適定問題有逆向熱傳導問題以及其他反問題等。

套用

套用當初

在一段時間裡,人們認為不適定問題不反映任何物理現象,而無研究價值。

套用領域

隨著生產和科學技術的發展、套用的迫切需要,各種各樣的不適定問題出現在許多領域中,如地球物理、連續介質力學、自動控制、大氣物理、全息照相、天體力學熱力學電磁學、 熱擴散理論、電子聚焦問題等,這些問題一般沒有精確解,為了求得具有一定精度的穩定近似解,已經提出許多有效的解法。
拉普拉斯方程的柯西問題、波動方程對非空向 (nonspace-like)初始流形的初值問題,在地球物理勘探的資料解釋和數據處理中,皆具有重要的套用。

發展

求解條件

由於這些問題的數據常常是通過測量給出的近似值,問題通常沒有精確解。因此,人們就去尋找滿足方程但只是近似地適合定解條件的所謂近似解,或近似地滿足方程的近似解。當然,這些近似解一般是沒有惟一性的,但是若對近似解所在的函式類加以適當的限制,例如緊性的限制,便可以保證近似解對數據的連續依賴性。

求解備註

在求問題數值解時,須明確在什麼度量下對近似解加以緊性限制,使問題變為適定,且切合實際的需要。

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