不變數理論

一組幾何元素由 k個參數組成的向量 P₁表示．若 T為某一變換，T∈G ， G為某一變換群，這組幾何元素經 T變換後，其參數組成的向量由 P₁變為 P₂(P₁,P₂ 均為 k維向量)，如果 I(P₁)=I(TP₁)=I(P₂)，則稱函式 I(P)為在變換群 G下的不變數。

由定義可見， I(P)為由參數計算出來的標量，可以是實數或複數，而且只要變換T屬於同一變換群 G，則I(P)與變換T的具體參數無關。

基本介紹

• 中文名：不變數理論
• 外文名：invariant theory
• 所屬學科：數學
• 著名人物：希爾伯特、布爾、凱萊等

歷史發展

希爾伯特在1892年之前主要研究不變數理論；他對這一課題最重要的貢獻是在1890和1893年發表的。要理解它們在不變數理論歷史中的地位，一個很有用的方法就是讀一讀希爾伯特自己為1893年的國際數學家大會準備的對這一理論的介紹。

布爾、凱萊和西爾維斯特論述不變數理論的早期作品發表之後的30年裡，很多時間耗在計算特殊不變數上。除了前面提到的英國數學家之外，對這項活動做出重要貢獻的還有克萊布希和齊格弗里德·海因里希·阿龍霍爾德(1819～1884)，他們發現了三元三次形式的不變數，並確立了“符號”計算法。把這項工作系統化，就是要找出不變數的完整系統或基礎；就是說，給定一個n次的x的形式，求出有理整數不變數及共變式的最小個數，使得任何其他有理整數不變數或共變式能夠用完全集的有理係數表示為一個有理整數形式。埃爾朗根大學的數學教授保羅·戈爾丹(1837～1912)證明了存在二元形式的有限完全集。他表明，每個二元形式都有一個不變數與共變式的有限完全系，而且，任何二元形式的有限系都有這樣一個系。戈爾丹的證明很笨拙，但顯示了完全系如何能夠計算；1886年，弗蘭茲-梅爾滕斯(1840～1927)提供了一個更流暢的歸納證明，並沒有顯示系。希爾伯特1888年的著名成果更加一般，被稱作“基本定理”。它作為論文《論代數形式理論》的定理1發表在1890年的《數學年刊》上。照例，希爾伯特把一個代數形式定義為一個某些變數的整有理齊次函式，它的係數是某個“有理域”中的數。該定理聲稱：對於任何有n個變數的形式所組成的無窮序列，都存在一個數m，使得該序列中的任何一個形式都可以表示為

式中，A_i是有相同n個變數的形式。希爾伯特把這個結果套用於證明對於任意多個變數的形式所組成的系，存在一個不變數的有限完全系。他在1893年發表的一篇很有影響的論文《論不變數的完全系》中，發展出了解決不變數理論問題的新方法。他強調，這一方法根本上不同於他的前輩們的方法，因為他把代數不變數理論當作代數函式域的一般理論的組成部分來處理。

不變數的定義

由幾何學知道，射影變換保持直線、直線與點的結合性以及直線上點列的交比不變，仿射變換除具有以上不變性還保持了直線的平行性，直線上點列的簡比不變。歐氏變換除具有仿射不變性外還保持兩條直線的夾角不變，任意兩點的距離不變。這些不變數都是由一些幾何元素的參數計算出來的量，如由點的坐標計算出兩點的距離等。

不變數的數學定義：一組幾何元素由 個參數組成的向量 表示．若 為某一變換， ， 為某一變換群，這組幾何元素經 變換後，其參數組成的向量由 變為 ( 均為 維向量)，如果 ，則稱函式 為在變換群 下的不變數。

由定義可見， 為由參數計算出來的標量，可以是實數或複數，而且只要變換 屬於同一變換群 ，則 與變換 的具體參數無關。

相同維變換空間的不變數

對於平面物體，它在畫面上的投影也為兩維平面，它們之間的關係為仿射變換或射影變換。若空間平面有n個點， ，假設這些點在圖像畫面上的投影點集合為 。如果變換為射影變換，則有 ，由於是兩維射影變換，則M為3×3的可逆矩陣，該矩陣方程包含描述 與 關係的2n個方程，而M矩陣包含3×3-1=8個獨立參數，若2n>8，則可在2n個方程中選取8個方程解出M矩陣係數，於是這些係數被表述為 與 的函式，將這些係數代入剩下的2n-8個方程中得到與M矩陣元素無關的恆等式，記為

若上式可分離為 ，則用 計算的 與用 計算的 恆等，即 就是所求的不變數，這說明不變數個數不超過2n-8個。顯然，這種估算不變數個數的方法可以推廣到n維空間。若幾何元素由k個獨立參數描述，對n維射影變換應有 個獨立參數，當 時應有 個不變數。

上面這種不變數個數的估計是不準確的，因為由變換前後參數得到的k個方程不一定完全獨立。例如，當平面上5個點有4個共線時，則有一些方程不獨立，實際上，這種情況只有一個不變數，即共線4點的交比，而且將上述的 變成 的形式也不一定成立，因而這種估計方法對不變數個數確定僅提供一種指導意義。對於仿射變換，這種方法同樣可以估算不變數的個數，如對二維平面，幾何元素由n個獨立參數描述，仿射變換應有6個獨立參數，因而不變數的個數應為2n-6。

不同維變換空間的不變數

具體思想是：對於三維物體，它在畫面上的投影圖像為二維平面，因而，這是一個從三維空間到二維空間的射影變換，變換關係為 ，其中U為圖像平面上投影點的齊次坐標，X為三維空間點的齊次坐標，M為3×4矩陣。若有空間點集 ，其投影點集為 ，按上節所求不變數個數的方法應有2n-(3×4-1)=2n-11個不變數，但是分析表明不能從f_k=0的式子中分解出 的形式。一般在什麼情況下存在不變數有待進一步研究，由於大部分圖像都是三維物體在平面上的投影所成，因而在理論上解決不變數的存在機制具有重要意義。

如果物體的大小較之與攝像機的距離很小，此時的射影變換可近似看作仿射變換或平面物體的射影變換，這種情況就可以計算出目標的不變數。

一些變換群的不變數

假設物體都是一些二維平面物體，且所有物體都在同一空間平面上，圖像平面與物體平面平行，攝像機與物體平面距離較遠，投影近似認為是平行投影。在這些假設下，同一物體不同圖像間只差一個旋轉、平移和尺度變換，即同一物體的不同圖像的差別是由於物體的擺設的方向不同、位置不同或攝像機的間距不同所引起的尺度不同，則可以找到一些不變數只與物體的形狀有關而與它們的位置、方向和尺度無關，分別稱之為旋轉不變數、平移不變數和尺度不變數。

矩不變數

矩不變數是歐氏變換群下的整體不變數。容易證明這些不變數為旋轉、平移和尺度不變數，但是這些不變數受噪音影響大，不同矩的動態範圍廣。由於矩的計算涉及高階矩，而且其積分範圍在整個區域進行，因而計算量大，但是此積分區域的形狀是由邊界唯一確定的，據此，有的文獻提出了許多矩的快速算法。此後，許多文獻又提出了各種正交矩以及仿射不變矩等方法識別物體。

傅氏描述子不變數

是指用傅氏變換來描述圖形的外邊界作為識別物體的特徵不變數，它將邊界點(x，y)看作為一個複數x+iy，則邊界序列形成一個函式，對其進行快速傅氏變換(FFT)，將得到的係數作為目標特徵來識別物體。這種方法的優點是通常使用傅氏變換的前幾項就可以相當準確的鑑別不同的形狀，但是，傅氏變換需實現對邊界的大小、旋轉和起點的規範化才能成為歐氏變換下的不變數。

上面兩個不變數都是物體圖形的全局不變數，還有許多文獻提出了大量的局部不變數，它們一般是根據目標邊界的曲線特徵來識別物體的，如將大於某一給定數值的邊界點的曲率值作為特徵不變數來識別物體。這些局部不變數對噪音敏感，受人為的主觀因素影響強，而且計算量也非常大。但是它可以識別由於遮擋、變形等引起的缺失部分物體信息的目標，而全局不變數沒有這種優點。

交比不變數

交比不變數是射影變換中的基本不變數。設給定4個共線點A，B，C，D，則交比 是射影不變數。記為Cr(AB，CD)，其中AB表示從點A到點B的線性距離。交比Cr(AB，CD)與四個點A，B，C，D的排列順序有關，顯然這四個點共有24種排列方法，但是，其交比值只有6種不同。

線束或點集的射影不變數

相交於一點的4條共面線束和4個共線點對偶，因此，共點的4條共面線束也有交比不變數。對於5條共面線存在兩個射影不變數：

其中是矩陣的行列式，而是直線的齊次方程的線坐標。由於線點的對偶性，也可以計算出共面5點的射影不變數，這要求其中任意三點不共線，此時的為點的齊次坐標，這種不變數在計算機視覺中有重要套用。

齊次多項式不變數

對於n元齊次多項式，設向量X為，對多項式p(X)進行線性變換T有P(X)=p(TX)。P(X)的一個單項式的係數由p(TX)對應的單項式係數確定。如果p(X)，P(X)的係數分別為向量p和P，則有不變數，其中T是變換矩陣，|T|是矩陣T的行列式，w為一實數。

置換不變數

對於一個函式有n個自變數，例如一對二次曲線的一個投影不變數函式I(C₁，C₂)，其中C₁，C₂分別為二次曲線向量表示的對應矩陣。給出兩個二次曲線的方程及其不變數，但是很難判斷C₁，C₂所對應的二次曲線，為了解決這個問題，可以構造這種不變數的對稱函式：

容易得出這種不變數不受C₁，C₂順序的影響。

射影微分不變數

射影微分不變數是曲線上關於單點導數和位置的一個非常複雜的函式。它是一個局部不變數，通過研究曲線射影變換前後曲線的曲率、撓率等局部特徵的函式關係獲得，但是由於這種不變數受噪音影響大、計算複雜，實際套用並不常見。