不完全數又稱不完美數，指所有真因數之和不等於自身的自然數，可分為虧數與盈數兩類。虧數因數和小於自身，其中真因數和等於自身減1的數稱為殆完全數，已知的殆完全數均為2的非負整數次冪；盈數因數和大於自身，若等於自身加1則稱為擬完全數，但尚未發現其存在。
在數論研究中，1951年P.卡塔內奧提出擬完全數必為奇完全平方數；1978年M.基肖爾證明除1外的奇殆完全數至少含6個不同質因數；1982年G.L.科恩與P.哈吉斯進一步指出擬完全數若存在需包含至少7個不同質因數。半完全數指部分真因數之和等於自身的數，如最小的奇半完全數為945，其構造方法常基於特定因數形式的組合。
基本介紹
- 中文名：不完全數
- 外文名：Not Perfect Number
- 別名：不完美數或不完備數
解釋
不完全數就是指這個自然數不是完全數。
不完全數存在很多種，其中一些不完全數與關於奇完全數的研究密切相關。
若一個自然數的所有真因數之和小於自身，則稱其為虧數或缺數；特別地，如果這個自然數的所有真因數之和等於自身減1，則稱其為殆完全數。現在已知的殆完全數是2的非負整數次冪，因此唯一一個已知的奇殆完全數是1。但迄今還不知道是否存在不是2的非負整數次冪的殆完全數。1978年M.基肖爾證明了除1以外的奇殆完全數至少包含6個不同的質因數。
若一個自然數的所有真因數之和大於自身，則稱其為盈數、豐數或過剩數；特別地，若這個自然數的所有真因數之和等於自身加1，則稱其為擬完全數。現在還不知道是否存在擬完全數。1951年P.卡塔內奧證明了任何擬完全數都必然是奇完全平方數。1982年G.L.科恩和P.哈吉斯證明了在10^35以下沒有擬完全數，並且若有則其數至少包含7個不同的質因數。
若一個自然數的某些真因數之和等於自身，則稱其為半完全數（完全數也是半完全數）。12的真因數是1、2、3、4、6，其中2+4+6=12，所以12是半完全數。最小的奇半完全數是945。每個半完全數倍數都是偽完全數。若一個半完全數的任何真因數都不是半完全數，則稱其為本原偽完全數。例如20是一個偽完全數，但其真因數1、2、4、5、10都不是半完全數，所以20是本原半完全數。每個2^mp形式的數都為半完全數，其中m是正整數，p是介於2^m與2^m+1之間的質數。
