陪域

陪域(Codomain)又稱上域、到達域。設G是從X到Y的關係，G的定義域D(G)為X，且對任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y的映射。關係G常使用另一些記號：f：X→Y等，f與G的關係是y=f(x)(x∈X)，若且唯若G(x，y)成立，可取變域X中的不同元素為值的變元稱為自變元或自變數，同樣可取變域Y中的不同元素為值的變元稱為因變元或因變數。始集X稱為映射f的定義域，記為D(f)或dom(f)；終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f)；Y中與X中的元素有關係G的元素的組合{y|∃x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f)；當y=f(x)時，y稱為x的象，而x稱為y的原象，y的所有原象所成之集用f^-1(y)表示；對於A⊆X，所有A中元素的象的集合{y|∃x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象，記為f(A)；對於B⊆Y，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧∃y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象，記為f^-1(B)。

基本介紹

• 中文名：陪域
• 外文名：Codomain
• 別稱：上域
• 所屬學科：數學
• 相關概念：值域，定義域，象，原象等

基本介紹

設A、B是集合，若存在對應關係 使A中每個元素a在B中有且僅有唯一元素b與之對應．則稱 是從A到B的映射，記作 。稱元素b為元素a的象，元素a為元素b的象源，記作 。稱集合A為映射 的定義域，記作 或 。稱集合B為映射 的陪域，B中所有象元素組成的集合為映射的值域，記作 或 或 。

單射、滿射與雙射

數學上，單射、滿射和雙射指根據其定義域和陪域的關聯方式所區分的三類函式。

單射：指將不同的變數映射到不同的值的函式。

滿射：指陪域等於值域的函式， 即：對陪域中任意元素，都存在至少一個定義域中的元素與之對應。

雙射（也稱一一對應）：既是單射又是滿射的函式。直觀地說，一個雙射函式形成一個對應，並且每一個輸入值都有正好一個輸出值以及每一個輸出值都有正好一個輸入值。

圖1~圖4對比了四種不同的情況：

表 1

圖1雙射（單射與滿射）	圖2 單射但非滿射
圖3 滿射但非單射	圖4 非滿射非單射

單射

一個函式稱為單射（一對一）如果每個可能的像最多只有一個變數映射其上，等價的有，一個函式是單射如果它把不同值映射到不同像，一個單射函式簡稱單射，形式化的定義如下，

函式是單射若且唯若對於所有，我們有

一個函式是單射若且唯若A是空的或是左可逆的，也就是說，存在一個函式使得上的恆等函式，

因為每個函式都是滿射當它的陪域限制為它的值域時，每個單射導出一個到它的值域的雙射。更精確的講，每個單射可以分解為一個雙射接著一個如下的包含映射。令為把陪域限制到像的，令為從到B中的包含映射，則。一個對偶的分解會對滿射成立。

兩個單射的複合也是單射，但若是單射，只能得出是單射的結論，參看圖5。

圖5 單射複合：第二個函式不必是單射

滿射

一個函式稱為滿射，如果每個可能的像至少有一個變數映射其上，或者說陪域任何元素都有至少有一個變數與之對應。形式化的定義如下：

函式為滿射，當且儀當對任意b∈B，存在滿足。

函式為一個滿射，若且唯若存在一個函式滿足等於Y上的單位函式。（這個陳述等同於選擇公理。）

將一個滿射的陪域中每個元素的原像集看作一個等價類。我們可以得到以該等價類組成的集合（原定義域的商集）為定義域的一個雙射。

如果和皆為滿射，則為滿射， 如果是滿射，則僅能得出是滿射，參見圖6。

圖6 滿射複合：第一個函式不必為滿射

雙射

既是單射又是滿射的函式稱為雙射，函式為雙射若且唯若每個可能的像有且僅有一個變數與之對應，

函式為雙射當日-僅當對任意b∈B存在唯一滿足。

函式為雙射若且唯若其可逆，即，存在函式滿足上的恆等函式，且為B上的恆等函式。

兩個雙射的複合也是雙射． 如為雙射，則僅能得出為單射且為滿射，見圖7。

同—集合上的雙射構成一個對稱群。

如果X，Y皆為實數R，則雙射函式可以被視覺化為兩根任意的水平直線只相交正好一次。（這是水平線測試的一個特例。）

圖7 雙射複合：第-個函式不必為滿射、第二個函式不必為單射

例1 對於函式，如果選擇的定義域和陪域不同，映射的性質就可能不同，如表2所示。

表2 映射的性質

定義域	陪域	映射	單射	滿射	雙射
R		×	×	×	×
R	R	√	×	×	×
R		√	×	√	×
	R	√	√	×	×
		√	√	√	√

和值域的區別

映射定義為集合A到B的對應關係，並且滿足對於每一個A中的元素（原象）都存在惟一的B中的元素（象）與之對應。

那么我們把A稱為這個映射的定義域，把B稱為陪域。

把B中的一個特殊的子集：所有A中元素在B中的象的集合叫做值域。

所以：形象地說值域就是象集合，陪域是包含值域的任意集合。