三角函式與圓

關於圓面積的推導，我們在初等數學曾進行過基本的解析。即將圓整體進行對半分割，再使半圓各析分成若干個的鋸齒形三角形，然後對半圓隔空相合，即得得出一個以半徑R為高、半周S=πR(π為圓周率)為底邊的平行四邊形，故可得S=πR2。

基本介紹

• 中文名：三角函式與圓
• π：圓周率
• R：半徑
• 圓面積：πR2

圓面積

關於圓面積的推導，我們在初等數學曾進行過基本的解析。即將圓整體進行對半分割，再使半圓各析分成若干個的鋸齒形三角形，然後對半圓隔空相合，即得得出一個以半徑R為高、半周S=πR(π為圓周率)為底邊的平行四邊形，故可得S=πR2。

函式推導

下面利用三角函式對圓面積公式進行簡單的推導。根據圓曲線的基本方程：X2+Y2=R2,可得Y=√(R2-X2),由此得出圓面積公式的微積分表示為：S=∫√(R2-X2)dX。

欲解該式，我們可利用三角函式做如下解析：設立平面坐標系，以原點為圓心，則可知X=Rcosθ，Y=Rsinθ,由此帶入方程式中，得：S=∫RsinθdRcosθ。

由dcosθ=-sinθdθ得，S=∫R2-sin2θdθ,

化簡可為：S=∫R2[cos2θ/2-1/2]dθ，因三角函式值域僅在[0,1]，

所以公式應為：S=∫R2(1/2-cos2θ/2)dθ。

求解可得：S=R2(1/2∫dθ-∫cos2θ/2dθ)，

因末項積分可視為一個常數C, 所以原式化為：S=R2∫1/2dθ+C,即S=R2.θ/2+C,

圓與三角

令θ=0時，且S= 0,故C=0,

即化簡後為:S=R2.θ/2。

當θ∈(0,2π),即得S=πR2。證明完畢。