一般型曲面

設X是射影代數曲面， 如果X不包含(-1)-曲線， 並且它的第一陳類c_1(X) 以及結構層 O_X 的上同調 示性類

χ(O_X)，分別滿足:

c_1^2(X)>0, χ(O_X)>0,

那么X就稱為一般型極小曲面。

基本介紹

• 中文名：一般型曲面
• 性質：一般型曲面的極小模型唯一
• 定義：設X是射影代數曲面
• 結構：有帶維化

定義

設X是射影代數曲面， 如果X不包含(-1)-曲線， 並且它的第一陳類c_1(X) 以及結構層 O_X 的上同調 示性類

χ(O_X)，分別滿足:

c_1^2(X)>0, χ(O_X)>0,

那么X就稱為一般型極小曲面。

嚴格地講， 一般型極小曲面就是指小平維數kod(X)=2的極小代數曲面。

背景

代數曲面分類，是經典代數幾何最重要的課題之一。 小平邦彥 首先按照小平維數對代數曲面進行粗糙的分類。 在此分類原則下，Enriques 對於小平維數不超過1的極小代數曲面， 進一步給出稍為細緻的分類。而對於一般型極小曲面， 其分類則非常複雜，這方面的研究成果及文獻浩如煙海。

人們主要藉助於由典範除子誘導的典範映射以及多重典範映射 的性質來刻畫和分類一般型極小曲面。在很多情形下，有帶維化結構的一般型曲面也常常能夠通過其纖維結構來反映出曲面的性質。

性質

1.一般型曲面的極小模型唯一。

2.宮岡-丘不等式： c_1^2(X)≦9χ(O_X).

3. 諾特不等式： c_1^2(X)≧2p_g(X)-4. 這裡p_g(X)是X的幾何虧格，也就是H^2(X,O_X)的維數。

4。 p_g(X)≧2q(X)-4. 這裡q(X)是非正則性指標， 也就是H^1(X, O_X)的維數。

5。 Bombieri：如果n≧5, 那么由多重典範線性系|nK_X|誘導的多重典範映射Φ_n是同構的。

有許多數學家對此作出了重要貢獻， 比如崛川寅二（Horikawa）, 肖剛，Beauville， Miles Reid等等 。上面我們只是列出最基本的幾條性質。有興趣的讀者可以參看相關文獻。