(r,s)型張量叢

(r,s)型張量叢是微分流形上切叢與餘切叢概念的推廣，由流形各點處切空間形成的r階協變與s階反變張量空間通過張量積組合構成，記作Tsr(M)=TM⊗···⊗TM⊗T*M⊗···⊗T*M（r個切叢與s個餘切叢的張量積）。其局部坐標系下的基向量可表示為∂/∂xi1⊗…⊗∂/∂xir⊗dxj1⊗…⊗dxjs形式，指標範圍覆蓋流形維數。

該叢的投影映射π:Tsr(M)→M將每個張量元素對應到流形基點，其光滑截面對應流形上的(r,s)型張量場。當r=1、s=0時即為切叢T(M)=T1,0(M)，其截面對應切向量場；r=0、s=1時則為餘切叢T*(M)=T0,1(M)，其截面對應微分1-形式。

通過轉移函式Ψαβ的構造方法，張量叢可被賦予微分流形結構，成為具備光滑變換特性的幾何對象。這種結構統一了切叢與餘切叢的數學描述框架，擴展了張量場的幾何表示方法。

基本介紹

• 中文名：(r，s)型張量叢
• 外文名：tensor bundle of type (r,s)
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：流形上的分析(流形上的微積分)
• 相關概念：切叢、餘切叢、叢投影等

基本介紹

(r，s)型張量叢(tensor bundle of type (r,s) )是切叢與餘切叢概念的推廣。謂(r，s)型張量叢，是指微分流形M上各點處切空間的(r，s)型張量空間的無交並，即M上(r，s)型張量叢

其中 表示 的(r，s)型張量空間。

(1，0)型張量叢就是切叢，而(0，1)型張量叢就是餘切叢。與切叢類似，張量叢上也可以定義流形結構與微分結構，使張量叢成為一個微分流形。

相關概念

叢投影

設M是n維 流形， 和 分別是M在a點的切空間和餘切空間，因此在流形M的每一點a有(r，s)型張量空間。

這是 維向量空間。

令 在 上引進拓撲使它成為有可數基的Hausdorff空間，稱 為流形M上的(r，s)型張量叢。

考慮流形M的一個坐標系 在任意一點 和 分別有彼此對偶的自然基底 和 因此， 有基底

且對任意的 有

其中 。

定義 設 是M上的（r,s）型張量叢，映射 ，定義為 有 稱 為張量叢上的自然投影，簡稱叢投影。

設 是 映射，如果

(M 上的恆等映射)

即對任意的 則稱 是張量叢 的一個光滑截面，或稱M 上的(r，s) 型光滑張量場。

切叢 的截面就是M的切向量場，餘切叢 的截面就是M上的微分1一形式。

切叢、餘切叢

在(r，s)張量叢中，令就得到流形M上的( 1，0)型張量叢一切叢(tangent bundle)，亦即，切叢表示為

若令就得到流形M上的(0，1)型張量叢——餘切叢(cotangent bundle)，亦即，餘切叢表示為