冪(數學代數術語)

冪（power）是一個數字自乘若干次的形式。乘方的結果叫做冪。當m為正整數時，nᵐ意義為m個n相乘。當m為小數時，m可以寫成a/b（其中a、b為整數），nᵐ表示nᵃ再開b次根號。當m為虛數時，則需要利用歐拉公式 e=cosθ+isinθ，再利用對數性質求解。把nᵐ看作乘方的結果，叫做n的m次，也叫n的m次方。

基本介紹

• 中文名：冪
• 外文名：power
• 適用領域：數學
• 概念：一種數學運算
• 基本定義：n的m次冪表示m個n相乘
• 與開方的關係：為開方的逆運算

相關介紹

數學中的“冪”，是“冪”這個字面意思的引申，“冪”原指蓋東西的布巾，數學中“冪”是一個數自乘若干次的形式，而乘方的表示是通過在一個數字上加上標的形式來實現的，故這就像在一個數字上“蓋上了一塊頭巾”。在現實中蓋頭巾又有升級的意思，所以把乘方叫做冪正好契合了數學中指數級數快速增長的含義，形式上也很契合，所以叫做冪。

冪不符合結合律和交換律。

因為10的次方很容易計算，只需在後加零即可，所以科學記數法藉助此簡化記錄數的方式；2的次方在計算機科學中很有用。

定義

冪指一個數自乘若干次的形式。指個相乘，，把看作乘方的結果，叫做的次冪。

其中，n稱為底數，m稱為指數（寫成上標）。當不能用上標時，例如在程式語言或電子郵件中，通常寫成n^m或n**m，亦可以用高德納箭號表示法，寫成，讀作“n的m次方”或者n的m次冪。

當指數為1時，通常不寫出來，因為那和底的數值一樣；指數為2、3時，可以讀作“n的平方”、“n的立方”。

的意義亦可視為︰起始值1（乘法的單位元）乘底指數這么多次。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數0和負數的情況︰除了0之外所有數的零次方都是1，即；冪的指數是負數時，等於。

分數為指數的冪定義為。

冪不符合結合律和交換律。

定理

同底數冪：；

積的冪：；

大小比較法

計算比較法

先通過冪的計算，然後根據結果的大小，來進行比較的。

底數比較法

在指數相同的情況下，通過比較底數的大小，來確定兩個冪的大小。

指數比較法

在底數相同的情況下，通過比較指數的大小，來確定兩個冪的大小。

求差比較法

將兩個冪相減，根據其差與0的比較情況，來確定兩個冪的大小。

求商比較法

將兩個冪相除，然後通過商與1的大小關係，比較兩個冪的大小。

乘方比較法

將兩個冪乘方後化為同指數冪，通過進行比較結果，來確定兩個冪的大小。

定值比較法

通過選一個與兩個冪中一個冪相接近的冪作定值，然後用兩個冪與所選取的定值相比較，由此來確定兩個冪的大小。

編程實現

常規算法

/*循環法
輸入：底數（unsigned a）、指數（undigned b）
輸出：結果（unsigned）
*/
unsigned mi(unsigned a , unsigned b)
{
    unsigned result = 1 ;
    for (i = 1 ; i <= b ; i++)
        result *= a;
    return result;
}

/*疊代法
輸入：底數（unsigned a）、指數（unsigned b）
輸出：結果（unsigned）
*/
unsigned mi(unsigned a , unsigned b)
{
    if (!b)
        return 1;
    return a * mi(a , b - 1);
}

快速算法

因為，所以可以使用疊代快速計算。

/*快速計算的疊代法
輸入：底數（unsigned a）、指數（unsigned b）
輸出：結果（unsigned）*/
unsigned mi(unsigned a , unsigned b)
{
    if (!b)
        return 1;
    if (b & 1)
        return a * mi(a * a , b >> 1);
    return mi(a * a , b >> 1);
}