SinX的導數

SinX的導數

sinX是正弦函式,而cosX是餘弦函式,兩者導數不同,sinX的導數是cosX,而cosX的導數是 -sinX,這是因為兩個函式的不同的升降區間造成的。

基本介紹

  • 中文名:正弦函式的導數
  • 外文名:SinX的導數
  • 導數:Cosx
  • 自變數:x
  • z正弦函式:sinx
簡介,正弦函式,證明,

簡介

sinx的導數是cosx (其中x為變數)
曲線上有兩點
當△x趨向0時,
極限存在,稱y=f(x)在x0處可導,並把這個極限稱f(x)在X1處的導數,這是可導的定義.

正弦函式

正弦函式 sin(x)的導數(導函式)是餘弦 cos(x),推算過程: 前提是兩個東西要先記住:
sin A - sin B = 2 *(cos ((A + B)/2)) * (sin ((A - B)/2))
以及
lim q -> 0 (sin(q))/q = 1
先要證明
lim (sin θ)/θ = 1
θ→0
然後
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2) (三角函式和差化積公式
y = f(x) = sin(x)
dy/dx
=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
Δx→0
=lim[sin(x+Δx)-sin(x)]/Δx
Δx→0
=lim{2cos[(2x+Δx)/2]sin[(x+Δx-x)/2]}/Δx
Δx→0
=lim2[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2]/Δx
Δx→0
=lim[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2]/(Δx/2)
Δx→0
=cosx × 1
=cosx
求sin x與cos x的 n 階導數:
(sinx)'=cosx
(sinx)''=(cosx)'=-sinx=sin(x+2pi/2)
(sinx)'''=(-sinx)'=-cosx=sin(x+3pi/2)
(sinx)^(4)=(-cosx)'=sinx=sin(x+4pi/2)
…………………………經過歸納得到
(sinx)^(n)=…………………=sin(x+nπ/2)
定義餘弦函式也是同樣的。

證明

根據導數定義
由於
所以
證畢.

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