S拓撲

簡介

S拓撲是超度量空間（即度量空間的自然擴張）中的一種拓撲。

設T是度量空間，其度量為P。設p∈*T，r∈R（正實數集合），則集合S(p,r)={q∈*T|P(p,q)<r}稱為一個S球。容易證明，兩個S球的交中的任一點都是這個交之中的另一個S球的中心。於是諸S球構成一個拓撲基，其相應的拓撲稱為*T的S拓撲。

相應的拓撲概念均冠以字母S。例如，S開集，S內部，S邊界，S極限，S連續等。

因為度量空間是拓撲空間，所以超度量空間中還有超拓撲空間中的Q拓撲。

一般地，Q拓撲比S拓撲更精細。事實上，*T中的Q拓撲可以看成以*T中的開球的集為基的拓撲。

設D是*T中的一個內開集，則對於每個點p∈D，存在一個以p為中心，r∈*R（超正實數集合）為半徑的開球B，使B⊂D，而D就是所有這種開球的並。因為每個S球可以看成一些開球的並，所以每個S開集是Q開集。

拓撲是集合上的一種結構。設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：

1.X與空集都屬於T;

2.T中任意兩個成員的交屬於T;

3.T中任意多個成員的並屬於T;

則T稱為X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X,T)。