S先生與P先生的謎題，是由美國史丹福大學的麥卡錫提出的，事實上這是一個推理問題。在對題目定義的清楚明確下，為了得到結果進行了一系列的舉例證明與排除，從而在思辨中得出問題的答案。這個謎題從另一側面教會了我們思考問題的方法。
基本介紹
題面,解題方法一,解題方法二,
題面
美國史丹福大學的麥卡錫提出的
設有兩個自然數X、Y，2<=X<=Y<=99,S先生知道這兩個數的和S，P先生知道這兩個數的積P，他們二人進行了如下對話：
S：我確信你不知道這兩個數是什麼，但我也不知道。
P: 一聽你說這句話，我就知道這兩個數是什麼了。
S: 我也是，現在我也知道了。
現在你能通過他們的會話推斷出這兩個數是什麼嗎？（當然，S和P先生都是非常聰明的）
每一道題的解法都有它的獨特處。若具有良好的解題思想，思辨意識，有始有終，持之以恆，定會得到自己的滿意答案。
解題方法一
s先生自己不知道x，y
說明和數s不是4，5，197，198
否則x,y分別只能為2,2；2,3；98,99；99,99。均只有一種情況。即可確定x,y了。
s先生知道p先生不知道x，y
首先，什麼樣的數p先生可以知道呢？
如s=8
8=2*4 8=1*8 後者是不可能的( x,y>=2 )
又如 s=25
25=5*5 只有一種
這樣p先生就能知道x,y
這說明s分解後 s=M1+N1=M2+N2=.....
M1*N1 分解成 乘積 的形式有 兩種或兩種以上，
若 s=11
11=2+9 2*9=18 18=2*9=3*6
11=3+8 3*8=24 24=2*12=3*8=4*6
11=4+7 4*7=28 28=2*14=4*7
這樣s先生可以確定p先生不能知道x，y
所以s先生知道的 和數s 是如下的數
SA={ 11,17,23,27,29,35,37，41，47，51，53...}
SA也不可以是29，因為29=7+11+11，則x，y=88，11，
同樣得到SA={11，17，23，27}
p先生聽了s先生的話後，知道了x，y
我們可以想像p先生根據s先生的話，已經知道s先生知道的和數是集合SA中的數
若自己所知道的乘積p分解成m*n後 其中有一個（m+n）是集合SA中的數
則 m,n就是所求的數x，y
如 p=18
18=2*9 2+9=11
18=3*6 3+6=9
11屬於SA
x，y就是 2 和 9
若p=72
72=2*36 2+36=38
72=3*24 3+24=27
......
72=8*9 8+9=17
其中27,17都屬於SA
於是72被排除了
所以p先生所知道的乘積是如下
pb={18,24,28,30，50,52,....}
所知道的x，y是乘積在pb中，且 乘積分解後的兩數的和只有一個 在SA中的數對，記為
XY={(x1,y1),(x2,y2),.....}
s先生也知道了x，y
可以知道，這時s先生也知道p先生知道的數的範圍XY
如果s分解後的兩數s=m+n,(m,n)只與XY中的一個數對相同
這樣，s先生也就找到了x，y ，但是沒有這樣的數。
解題方法二
我看到過答案，這是根據我的理解寫下的
S：我確信你不知道，但我也不知道
為什麼s先生這么確定？換句話說P先生得到怎樣的組合就能立刻知道mn的值呢？
先看看哪些情況下p先生能立刻得到答案
（1）mn不能同時為質數。
譬如34=1*34=2*17，因為nm是大於等於2的，那么1*34這樣的組合是不可能的，那么mn就是2和17。
Mn不為質數，那么他們可能之中有1個質數，或者2個同為合數。
（2） 如果mn中有一個質數，那么那個質數不會大於50
如果mn有一個大於50，那么他們分解成兩個因子乘積的可能性中，其他的分解方式都會有一個因子會超過100，然么分解方式必然會被P排除，那就只剩下一種方式，P也就立刻知道答案。
譬如318 = 6*53 = 3*106 = 2*159，因為mn小於等於99，那么後兩種可能性肯定被排除。mn就肯定是6，53。
（3） 如果mn都是合數，那么都不會大於50
理由同上。可就是P分解因子，只有一種情況下mn是小於100的，其他情況mn必有一數大於等於100。
其實mn的積也不會是8或者27，因為8 = 2*4 27=3*9，分解因子也就一種情況
Mn的值在以上情況下P先生可以立刻知道答案，那么也就是說S先生看到mn的和可以立刻推理出mn不可能存在上述的情況
（4）S不能分解成三個這樣的質數之和：
如果S=29=7+11+11.那么X,y=11，88，或7，121 後面一種不符合。
又如果S=35=7+11+17，那么x，y=7，187或11，119或17，88 前面兩種不符合。
（1）S肯定是奇數
S肯定是奇數，如果s是偶數，那么mn有可能是質數。（原作者引用了哥德巴赫猜想：每一個大於2的偶數都是兩個素數的和。雖然這個猜想沒有證明，但是在100範圍以後可以實驗證明這個猜想是正確的。如果有例外的話，這個猜想也就不會這么有名了。也就是說4－100範圍以內的偶數都可以用兩個質數的和表示。）
（2）mn的和不能大於54
這個推測的依據是建立在上面2、3之中的。因為S先生確信P先生不知道mn的值，所以2、3的情況是不會從mn的和中反應的。
（3）S-減去2的值不是質數
（4)S不等於29，35，37，41，47，51，53.
有上得S只能取11，17，23，27。
P: 聽你說這句話，我就知道這兩個數了
P先生和我們一樣，現在知道mn的和就只有上面的可能了。他只要把mn的積分解兩個因子乘積，所有可能性中，有且只有一組的可能性中兩個因子的和剛好是上面11個數中的一個，那么P先生就知道mn的值了。
假設P = 30 = 5*6 = 2*15，而5+6=11，2+15 =17，11和17都在上面11個數之中，那么P先生就無法判斷mn到底是哪組數。所以P就不會等於30。
既然知道P先生的判斷方法，現在就從11個數出發，一個個的推導。
S: 我也是，現在我也知道了
S先生根據P先生的話知道了mn的積分解因子，只有一組的因子之和為11個數中間的一個。而S先生同時也立刻知道mn的值。我們可以推斷，如果把mn之和拆成數個由一個奇數和一個偶數的組合，只有一個組合符合下面的條件：這個奇數和偶數的乘積符合第2條P先生的判斷，也就是把這個積分解成兩個因子乘積，所有分解情況中，有且只有一組的情況中兩個因子的和剛好是上面11個數中的一個。這樣S先生也就能知道mn的值了
我們只要把11個數拆成若干種奇偶組合，如果有2個或者2個以上的組合滿足P先生判斷條件，那么這個數就不是mn的和。：
（1）11 = 2+9=4+7=6+5=8+3
2*9 = 18 = 3*6，3+6=9不在10個數中，那么2*9符合。
4*7=28=2*14，前面說過mn是一奇一偶，2*14不考慮，4*7符合。
6*5=30=2*15，而6+5=11，2+15=17，兩個數都在11個數中，那么P先生是無法判斷，所以這個組合可以略過。
8*3 = 24 = 2*12=4*6，，那么2*12，4*6不用考慮，8*3符合
現在有3組數字元合，那么11就不是mnd的和了
從上面看，如果把11拆成2的次方和一個質數的組合，那么只有一種分解是一奇一偶，其他的情況都是2個偶數。(4,7) = (2^2,7),(3,8) = (3,2^3)，這樣的組合分解就具有唯一性，就能滿足我們的要求。11可以拆成2個這樣的組合，11就可以排除了。
（2）23 = 2^2+19 = 2^4+7
27 = 2^2+23 = 2^3+19
上面是數可以拆成2組2的次方和一個質數，也就是有2組符合P先生的判斷，故這些數可以排除，那就只剩下17，29了
（3）29 =16+13=2+27
2*27 = 54 =3*18=6*9，符合
16*13 是2^4和13，13是質數，肯定符合
29有2組符合，所以29排除。
（4）現在就只剩下17了。
17=4+13=6+11=7+10=8+9
4*13=52，6*11=66，7*10=70，8*9=72都只有一組符合。排除故無解。
