Gross-Pitaevskii方程

Gross–Pitaevskii 方程（以Eugene P. Gross命名與Lev Petrovich Pitaevskii) 描述了全同玻色子量子體系的基態，其中使用了Hartree-Fock近似與贗勢相互作用模型。

基本介紹

• 中文名：Gross–Pitaevskii 方程
• 外文名：Gross–Pitaevskii equation
• 描述：全同玻色子量子體系的基態
• 相關術語：金茲堡－朗道方程
• 別稱：非線性薛丁格方程
• 學科：量子力學

定義

Gross–Pitaevskii 方程（以Eugene P. Gross命名與Lev Petrovich Pitaevskii) 描述了全同玻色子量子體系的基態，其中使用了Hartree-Fock近似與贗勢相互作用模型。

在Hartree-Fock近似中，N個玻色子體系的總波函式為單粒子波函式之積

其中為第i個玻色子的坐標。

贗勢模型下的哈密頓量為

其中m為玻色子質量，V為外勢場，為玻色子-玻色子散射長度，為狄拉克δ函式。

如果單粒子波函式滿足Gross-Pitaevski方程，

則總波函式在歸一化條件下可以使贗勢模型哈密頓量的總能量最小。

Gross-Pitaevski方程是描述玻色-愛因斯坦凝聚單粒子波函式的模型方程。它有類似金茲堡－朗道方程的形式，也會被稱為非線性薛丁格方程.

玻色-愛因斯坦凝聚(BEC) 是處於同一量子態的玻色氣體可以由同一個波函式進行描述。單個粒子可有單粒子波函式描述。真實氣體中粒子相互作用包含在相應的多體薛丁格方程當中。當氣體中粒子間距大於散射長度（即所謂的稀薄極限）時，真實的相互作用勢就可以被替換為贗勢。Gross-Pitaevskii方程的非線性來源於粒子間的相互作用。當把方程中相互作用的耦合常數設為零時，非線性消失，方程以描述單粒子在勢阱中的單粒子薛丁格方程的形式出現。

方程形式

Gross-Pitaevskii方程的形式類似於一般薛丁格方程，但是多出一個相互作用項。耦合常數{\displaystyle g}正比於兩個相互作用玻色子間的散射長度

其中為約化普朗克常數。能量密度為

其中為波函式，V為外部勢場。 對於體系內粒子數守恆的不含時Gross–Pitaevskii方程

其中為化學勢。化學勢是從粒子數與波函式間的關係中得到的

從不含時Gross-Pitaevskii方程中，我們可以求得各種外勢場中玻色愛因斯坦凝聚的內部結構（例如，諧振子勢阱）。

含時Gross-Pitaevskii方程為

利用含時Gross–Pitaevskii方程人們可以研究玻色愛因斯坦凝聚的動力學問題。

方程解

鑒於Gross–Pitaevskii方程為非線性偏微分方程，一般很難求得解析解，大多數求解套用近似方法。

精確解

（1）自由粒子

最簡單的情況是描述自由粒子，外勢場，

該解常被稱為Hartree解。儘管它滿足Gross–Pitaevskii方程，由於相互作用，其能譜中含有間隙

根據Hugenholtz–Pines定理，含斥力相互作用的玻色氣體並無能量間隙。

（2）孤子

一維孤子可以構成玻色愛因斯坦凝聚，取決於相互作用是引力還是斥力，形成亮孤子或暗孤子。兩種孤子都是均勻密度背景下的定域擾動。如若相互作用是斥力形式的， g>0，Gross–Pitaevskii方程的可能解為，

其中為凝聚態波函式在無窮遠處的值，為相干長度。此解代表暗孤子，它描述在空間上原本均勻分布的密度出現了缺失。暗孤子是一種拓撲缺陷，因為在經過原點處符號發生翻轉。這對應了數學上的相移。

對於g<0

其中化學勢為。此解為亮孤子, 代表了空間上的凝聚。

變分解

對於難以得到精確解析解的體系，人們可以使用變分法。代入含某可調參數的已知波函式，求解體系自由能，找到使體系能量降為最低的參數。

托馬斯-費米近似

如果氣體中粒子數量很多，原子間相互作用極大，以至於原子自身動能可以從Gross-Pitaevskii方程中忽略，此時近似為托馬斯-費米近似。