基本介紹
- 中文名：Cis函式
- 分類：數理科學
定義,命名,歐拉公式,指數定義,反函式,恆等式,雙曲cis函式,參見,
定義
上述文字稱它以類似三角函式的形式來定義函式的原因是，就如同三角函式，他也算是一種比值，複數和其模的比值:
因此，當一複數的模為1，其反函式就是幅角（arg函式）。
cis函式可視為求單位複數的函式
cis函式的實數部分和餘弦函式相同。
命名
由於cis函式的值為“餘弦加上虛數單位倍的正弦”，取其英文縮寫cosine andimaginary unitsine，故以cis來表示該函式。
歐拉公式
主條目：歐拉公式
在數學上，為了簡化歐拉公式
，因此將歐拉公式以類似三角函式的形式來定義函式，給出了cis函式的定義：
並且一般定義域為
，值域為
。
當
值為複數時，cis函式仍然是有效的，所以有些人可利用cis函式將歐拉公式推廣到更複雜的版本。
指數定義
跟其他三角函式類似，可以用e的指數來表示，依照歐拉公式給出:
反函式
cis的反函式: arccis x，當代入模為1的複數時，所得的值是其輻角
類似其他三角函式，cis的反函式也可以用自然對數來表示
當一複數經過符號函式後代入arccis x可得輻角。
恆等式
cis函式的倍角公式似乎比三角函式簡單許多。
雙曲cis函式
一般會將雙曲cis函式定義成:
定義域和值域皆為實數，但若定義雙曲複數，
考慮數
，其中
是實數，而量{\displaystyle j}不是實數，但{\displaystyle j^{2}}是實數。
主條目：雙曲複數
選取{\displaystyle j^{2}=-1}，得到一般複數。取
的話，便得到雙曲複數。
而雙曲複數有對應的歐拉公式:
因此雙曲cis函式得到的值為雙曲複數，相反的若將其反函式帶入模為一的雙曲複數可得其輻角。
如此一來，值域將會變成四元數。
參見
- 複數 (數學)
- 三角函式恆等式
