Bradley-Terry 模型

Bradley-Terry 模型是一個體育比賽的統計模型，用幾個參賽隊（或運動員）兩兩競技的勝負場次來估計每個參賽隊的實力，進而預報任意兩支參賽隊交手時的勝負機率。

基本介紹

• 中文名：Bradley-Terry 模型
• 套用領域：體育比賽分析
• 學科背景：機率統計
• 提出時間：1984年

問題背景

已知 m 個參賽隊兩兩交手的勝負場次。設 n_ij 表示 i 隊勝 j 隊的次數，其中 i, j = 1, 2, ..., m. 於是 n_ji 表示 i 隊負於 j 隊的次數。假設沒有平局，且令 n_ii = 0. 由於通常參賽隊數目很多，歷史數據中指定兩支隊伍 i、j 的交手次數往往很少，直接由 n_ij / (n_ij + n_ji) 估計出的勝率誤差較大，甚至有的隊伍 i、j 之間還沒有直接交手過。如何充分利用所有隊伍的比賽數據，確定這 m 支隊伍的實力排名，並將任意兩支隊伍 i、j 交手的勝率估計得更準一些？

模型方法

Bradley-Terry 模型假設每支參賽隊 i 有一個固定的水平 λ_i, 兩支隊伍 i、j 交手的勝率為水平差 λ_i – λ_j 的 Logistic函式

其中 i ＞ j 表示 i 隊勝 j 隊，α_i = exp(λ_i) 稱作參賽隊 i 的實力。這裡的水平和實力都是每支參賽隊的隱參數，需要由比賽記錄 n_ij 根據最大似然估計方法得出。對於全部的 N = Σ_ij n_ij 場比賽，對數似然函式滿足

將參賽隊 1 的水平 λ₁ = 0（或實力 α₁ = 1）作為一個基準，調整其它參賽隊水平（或實力），最大化實際 N 場比賽結果發生的似然函式 L 的對數值，即得到其它參賽隊水平的估計值，用來排名實力和預報勝率。

案例分析

假設有三支參賽隊 A、B、C，它們之間一共進行過 N = 25 場比賽，其中 A 對 B 勝 8 場負 4 場，A 對 C 勝 3 場負 5 場，B 對 C 勝 2 場負 3 場。如何確定 A、B、C 隊的實力排名和勝率呢？

令 A 隊實力 α₁ = 1 為基準，B、C 隊實力為 α₂ 和 α₃. 於是對數似然函式 ln L 滿足

最大化 ln L 得 α₂ = 0.590，α₃ = 1.317。於是得出實力排名 C ＞ A ＞ B，以及 A、B、C 兩兩對決的勝率 P(A ＞ B) = 62.9%，P(A ＞ C) = 43.2%，P(B ＞ C) = 30.9%.

適用條件

Bradley-Terry 模型有如下適用條件和改進空間：

1、單一水平能力競技：如果一項比賽涉及多種能力（或戰法），則可能出現循環戰勝的情況，即 P(i＞j), P(j＞k), P(k＞i) 同時大於 0.5。這可能是戰法相剋的結果，單一水平能力的 Bradley-Terry 模型不適用。需要給每個參賽隊引入多個水平能力（如進攻能力、防守能力等），藉助比賽過程中的信息對不同方面的水平參數加以估計；

2、穩定發揮：如果有的參賽隊發揮較穩定，有的參賽隊常常 “爆冷”，則 Bradley-Terry 模型不適用。需要考慮給每個參賽隊的水平加上一個方差參數，反映不同參賽隊發揮的穩定性差別；

3、主客場因素：影響比賽結果的非實力因素（如主客場等）可以通過引入水平差的偏差項來考慮。如設主場優勢影響為 b，則 x 隊主場勝 y 隊的機率為 P(X ＞ y) = 1 / [1 + e]，客場勝 y 隊的機率為 P(x ＞ Y) = 1 / [1 + e]；

4、無平局：Bradley-Terry 模型沒有考慮平局的機率。由經驗知道，水平差距越接近，平局機率越大；而差距越懸殊，平局機率越小。比賽有平局時，可以在 Bradley-Terry 模型中加入平局機率，或將比賽記錄中的平局場次平分給兩支參賽隊；

5、靜態估計：Bradley-Terry 模型沒有區別對待久遠的比賽和近期的比賽，以及參賽隊水平能力隨時間的變化。如果歷史數據的時間跨度較大，則需要把 Bradley-Terry 模型改進為時間序列模型，以提高勝率的預報準確度。