2-3樹是最簡單的B-樹（或-樹）結構，其每個非葉節點都有兩個或三個子女，而且所有葉都在統一層上。2-3樹不是二叉樹，其節點可擁有3個孩子。不過，2-3樹與滿二叉樹相似。高為h的2-3樹包含的節點數大於等於高度為h的滿二叉樹的節點數，即至少有2^h-1個節點。
基本介紹
- 中文名：2-3數
概述,2-3樹的基本運算,遍歷2-3樹,查找2-3樹,插入算法,
概述
2-3樹是最簡單的B-樹（或-樹）結構，其每個非葉節點都有兩個或三個子女，而且所有葉都在統一層上。2-3樹不是二叉樹，其節點可擁有3個孩子。不過，2-3樹與滿二叉樹相似。若某棵2-3樹不包含3-節點，則看上去像滿二叉樹，其所有內部節點都可有兩個孩子，所有的葉子都在同一級別。另一方面，2-3樹的一個內部節點確實有3個孩子，故比相同高度的滿二叉樹的節點更多。高為h的2-3樹包含的節點數大於等於高度為h的滿二叉樹的節點數，即至少有2^h-1個節點。換一個角度分析，包含n的節點的2-3樹的高度不大於[log2(n+1)](即包含n個節點的二叉樹的最小高度)。
例如，下圖顯示高度為3的2-3樹。包含兩個孩子的節點稱為2-節點，二叉樹中的節點都是2-節點；包含三個孩子的節點稱為3-節點。
將數據項放入2-3樹節點中的規則是：
（1）2-節點有兩個孩子，必含一個數據項，其查找關鍵字大於左孩子的查找關鍵字，而小於右孩子的查找關鍵字。
（2）3-節點有三個孩子 ，必含兩個數據項，其查找關鍵字S和L滿足下列關係：S大於左孩子的查找關鍵字，而小於中孩子的查找關鍵字；L大於中孩子的查找關鍵字，而小於右孩子的查找關鍵字。
（3）葉子可以包含一個或兩個數據項。
2-3樹的基本運算
遍歷2-3樹
可通過類似於中序遍歷的方式。按有序的查找關鍵字順序遍歷2-3樹，代碼如下：
inorder(in ttTree:TwoThreeTree)
//Traverse the noneempty 2-3 tree ,ttTree in sorted
//search-key order
{
if(ttTree's root node r is a leaf)
visit the data items
else if(r has two data items)
{
inorder(left subtree of ttTree's root);
visit the first data item
inorder(middle subtree of ttTree's root);
visit the last data item
inorder(right subtree of ttTree's root);
}
else
{
inorder(left subtree of ttTree's root)
visit the first data item
inorder(middle subtree of tttree's root);
}
}
查找2-3樹
2-3樹中的節點排序與二叉樹中的排序相似，允許在2-3樹中有效地查找某一項。實際上，有下面的偽碼可以看到，2-3樹的檢索操作非常類似與二叉樹的檢索操作。
代碼如下：
retrieveItem(in ttTree: TwoThreeTree,in searchKey :keyType,
retrieveItem(in ttTree: TwoThreeTree,in searchKey :keyType,
out treeItem:TTreeItemType):boollean
//retrieve into treeItem from a noneempty 2-3 tree ttTree
//the item whose search key equals searchkey,the operation fails if no
//such item exists ,the function returns true if the item is found ,
//false otherwise
{
if(searchKey is in ttTree's root node r)
{
treeItem =the data portion of r
return true;
}
else if(r is a leaf)
{
return false;
}
else if(r has two data items)
{
if(searchKey<smaller search key of r)
return retrieve(r's left subtree,searchkey,treeitem)
else if(searchKey<larger search key of r)
return retrieve(r's middle subtree ,searchKey,
treeItem);
else
return retrieve(r's right subtree,searchKey,
treeItem)
}
else
{
if(searchKey<r's search key)
return retrieve(r's left subtree,searchKey,treeItem);
else
return retrieve(r's middle subtree,searchKey,treeItem);
}
}
插入算法
要將項I插入2-3樹，首先定位查找I的操作將終止的葉子。將新項I插入葉子，若當前葉子包含兩個項目，則任務完成。但若葉子包含三個項，則必須將其分為兩個節點n1和n2。將最小項S放在n1，將最大項放在n2，將中間項M上移到葉子的雙親。結果，節點n1和n2成為雙親的孩子。若雙親只有三個孩子，並包含兩個項目，則任務完成。但是，若雙親當前有四個孩子，並包含有三項，則需要拆分。
上述葉子操作的過程，拆分包含三個項的內部節點n，但必須考慮n的四個孩子。如圖5所示，將n拆分為n1和n2，將n的最小項S放到n1，將n左面的兩個孩子關聯到n1。將n的最大項L放入n2，將n右邊的兩個孩子關聯到n2，將n的中間項M上移到n的雙親。
此後，拆分節點和將項上移到雙親的過程遞歸地進行，知道遇到這樣一個節點：再插入前，它只有一個項，而在接納新項後，只有兩個項。注意，在前面的插入序列中，樹的高度保持不變，一直是原始3 。一般情況下，只要在從根到插入新項的葉子的路徑上，至少有一個節點只包含一個項，則插入將不會增加樹的高度。因此，與基本二叉查找樹的策略相比，2-3樹的插入策略推遲了樹的高度的增長。
當2-3樹的高度增長時，則從項的頂部向下完成。如果從根到插入新項的葉子的路徑上，每個節點包含兩個項，則2-3樹的高度將增長。在這種情況下，拆分節點以及將項上移到節點雙親的遞歸過程最終到達根r。此時，向其他任何內部節點一樣，必須為r拆分為r1和r2。不過，必須新建一個包含r的中間項的節點，是這個節點成為n1和n2的雙親的節點。於是，新節點成為樹的新項。
代碼如下：
retrieveItem(in ttTree: TwoThreeTree,in searchKey :keyType,
out treeItem:TTreeItemType):boollean
//retrieve into treeItem from a noneempty 2-3 tree ttTree
//the item whose search key equals searchkey,the operation fails if no
//such item exists ,the function returns true if the item is found ,
//false otherwise
{
if(searchKey is in ttTree's root node r)
{
treeItem =the data portion of r
return true;
}
else if(r is a leaf)
{
return false;
}
else if(r has two data items)
{
if(searchKey<smaller search key of r)
return retrieve(r's left subtree,searchkey,treeitem)
else if(searchKey<larger search key of r)
return retrieve(r's middle subtree ,searchKey,
treeItem);
else
return retrieve(r's right subtree,searchKey,
treeItem)
}
else
{
if(searchKey<r's search key)
return retrieve(r's left subtree,searchKey,treeItem);
else
return retrieve(r's middle subtree,searchKey,treeItem);
}
}
