黑利定理

黑利定理(Helly theorem)是凸集交叉處離散幾何的基本結果。 它是由愛德華·赫利於1913年發現的，但直到1923年才被他發表，當時Radon（1921年）和König（1922年）的替代證明已經出現。 Helly定理引出了Helly家族的概念。

基本介紹

• 中文名：黑利定理
• 外文名：Helly theorem

定義

設 ，...， 是 的凸子集的有限集合，其中。如果這些集合中每個的交集是非空的，則整個集合具有非空交集;那是，

對於無限集合，必須假設緊湊：

設{ }是 的緊緻凸子集的集合，使得基數最多的每個子集合都具有非空交集。然後整個集合都有非空的交集。

證明

我們使用Radon定理證明了有限形式，如Radon（1921）的證明。然後無限版通過緊緻性的有限交集屬性表征：若且唯若每個有限子集合具有非空交集時，緊湊空間的閉合子集的集合具有非空交集（一旦您修復單個集合，所有其他人與它的交集是固定緊湊空間的封閉子集。

證據是通過歸納：

基本情況：設。根據我們的假設，對於每個j = 1，...，n，存在一個點 ，它位於所有 的公共交叉點中，可能是 的例外。我們將Radon定理套用於集合A = { ，...， }，它為我們提供A的不相交子集 ， ，使得 的凸包與 的凸包相交。假設p是這兩個凸包的交點中的一個點。我們聲稱：

實際上，考慮任何j∈{1，...，n}。我們將證明 。請注意，可能不在 中的A的唯一元素是 。如果 ∈ ，那么 ∉ ，因此 ⊃ 。由於 是凸的，因此它還包含 的凸包，因此也包括 。同樣，如果 ∉ ，那么 ⊃ ，並且由相同的推理 。由於p在每個 中，它也必須在交叉點中。

上面，我們假設點 ，...， 都是不同的。如果不是這種情況，比如對於某些 ，則說 = ，則 在每個集合 中，並且我們再次得出結論交集是非空的。這樣就完成了 的證明。

歸納步驟：假設，並且該陳述對於n-1為真。上面的論點表明，集的任何子集合都將具有非空交集。然後我們可以考慮使用單組 ∩ 替換兩組 和 的集合。在這個新集合中，集的每個子集合都將具有非空交集。因此，歸納假設適用，並表明這個新集合具有非空交集。這意味著原始集合相同，並完成證明。