馬勒法是線性插值的進一步伸展，採用經過三個已知點所確定的拋物線與x軸的交點作為下一個近似解。
基本介紹
- 中文名：馬勒法
- 外文名：Muller's method
Muller方法是線性插值的進一步伸展，採用經過三個已知點所確定的拋物線與x軸的交點作為下一個近似解。Muller方法的算法原理如圖1所示，對於求
圖1
y=f(x)的零點x'來說，假設已經得到互異的三個點x0,x1,x2處的函式值f(x0),f(x1),f(x2),那么可以 經過平面上的三個點（x0，f(x0)),(x1,f(x1))以及(x2,f(x2))作為拋物線，記為y=p(x)(圖1中較粗的那條曲線），並把拋物線y=p(x)與x軸的交點x3作為f(x)=0的近似解。接下來再經過（x1，f(x1)),(x2,f(x2))以及
(x3,f(x3))作為拋物線……從而形成一個算法，算法的關鍵是求拋物線與x軸的交點。
假設過（x0，f(x0)), (x1,f(x1))以及(x2,f(x2))這三個點的拋物線方程為
y=a(x-x2) ^2+b(x-x2)+c ************************************ (1)
依次用（x0，f(x0)),(x1,f(x1))以及(x2,f(x2))分別代入（1）式，得
f(x0)= a(x0-x2) ^2+b(x0-x2)+c ****************************(2)
f(x1)= a(x1-x2) ^2+b(x1-x2)+c *************************** (3)
f(x2)= a(x2-x2) ^2+b(x2-x2)+c *****************************(4)
由(4)式可得c=f(x2),分別代入到(2)(3)中，整理後得
a(x0-x2) ^2+b(x0-x2)=f(x0)-f(x2)********************** (5)
a(x1-x2) ^2+b(x1-x2)=f(x1)-f(x2)********************** (6)
為了把上面的方程組（5）（6）的解更有規律性，令
h0= x1-x0
h1= x2-x1
q0=[f(x1)-f(x0)]/h0 *************************************(7)
q1=[f(x2)-f(x1)]/h1
把上面的定義的方程組分別代入（5）（6）中，整理後可得
a=(q1-q0)/(h1+h0)
b=q1+ah1 ***********************************************(8)
再在（1）式中令y=0，利用求根公式解關於x-x2的方程可以得到
x1-x2=[(-b)+√（b ^2-4ac）]/2a************************* (9)
x1= x2 +[(-b)+√（b ^2-4ac）]/2a************************ (10)
由圖1可以看出，如果得到了插值拋物線的兩個零點，應該取與x2更靠近的哪一個最為問題的近似解。利用一元二次方程的求根的計算方法，可以得到
x= x2 – 2c/[(b+sign(b)+ √（b ^2-4ac）] **************(11)
上面的（11）式可以用來求下一個疊代點，其中a，b,c可以利用（7）式和（9）式得到，從而利用Muller方法求函式零點的關鍵問題得到解決。
