音樂同構

在數學中，特別是黎曼幾何跟微分流形的理論里，音樂同構（Musical isomorphism 或典範同構 canonical isomorphism）是指（偽）黎曼流形 M 的切叢 TM 與餘切叢T*M 之間的同構，這個同構由黎曼度量給出。不過一般地，只要流形的切叢上有一個處處非退化的雙線性形式（比如辛流形上的辛形式）便可定義這樣的同構。在帶有內積（或更一般的，非退化的雙線性形式）的有限維向量空間 V，這些同構自然給出了 V 和其對偶空間之間的同構，在這種情況一般稱這些映射為典範同構（canonical isomorphosm）。

這些運算在流形上的張量場理論里也稱為指標的上升和下降。

基本介紹

• 中文名：音樂同構
• 分類：數理科學

正式定義

黎曼流形M的黎曼度量 是一個二階的對稱、正定張量場 。在任意一點x∈M，黎曼度量會誘導出一個映射

這映射給了點 的切空間跟餘切空間之間的一個線性同構，對任何切向量X_x屬於T_xM，定義

其中符號 代表 流形上的黎曼度量。這意味著，

這些線性映射的集合定義了一個叢同構

這是一個特別的微分同胚，在每個切空間上為線性映射。在截面的層次上即是切向量場到餘切向量場的同構。在一個局部坐標 下，設度量矩陣為 ，逆矩陣為 ，向量場 　。則這個同構會將 映射到

這裡使用了愛因斯坦求和約定。

以上同構稱為降號音樂同構（flat）用符號 表示，例如以上的函式 可表示成： ；而其逆運算稱為升號（sharp）用符號 表示：降號下降指標，升號上升指標，（Gallot，Hullin & Lafontaine 2004，p.75）。升號用局部坐標表示為：

這兩個同構的核心是g為處處非退化的雙線性形式，任何一個非退化的雙線性形式都可給出類似的同構，對偽黎曼流形、辛流形也有類似的同構。在辛幾何中，這個同構非常重要，哈密頓向量場便是由這個同構導出的。

名稱由來

同構 與其逆 稱為“音樂同構”是因為是因為常常用兩種音樂符號 來代替這些同構，比如 會寫成 ， 會寫成 ，它們將指標向下、向上移動。例如，流形上的向量場 經過 映射會變成余向量場：

這裡將映射到，係數的指標從上到下，所以這運算用降號符號表示。

而余向量 ，經過 運算會變成向量

所以指標向下、向上移動好似符號降號（）與升號（）下降與上升一個半音的音高