非線性系統,指的是系統的狀態與輸出變數在外部條件的影響下,不能用線性關係來描述的系統。
混沌系統是指在一個確定性系統中,存在著貌似隨機的不規則運動,其行為表現為不確定性、不可重複、不可預測,這就是混沌現象。混沌是非線性動力系統的固有特性,是非線性系統普遍存在的現象。
非線性科學幾乎涉及自然科學和社會科學的各個領域,混沌是這門科學的主題之一。混沌是一種貌似無規則運動,在確定性非線性系統中,不需要附加任何隨機因素亦可出現類似隨機的行為(內在隨機性)。
基本介紹
- 中文名:非線性混沌系統
- 外文名:Nonlinear chaotic system
- 類別:控制科學與工程
- 基礎:混沌、非線性系統
- 基本特徵:遍歷性等
- 識別方法:波形圖與相軌圖
基本概念
非線性系統
混沌
混沌的基本特徵
初始條件的極度敏感性
混沌運動行為對初始條件的改變極度敏感,導致這種高度敏感性的原因是摺疊與拉伸,系統經過多次摺疊與拉伸後,其運動軌跡被打亂從而出現混沌現象。初始條件的微小改變,使系統的長時間的動力學行為難以預測,而短時間內的動力學行為是可以預測和確定的。
遍歷性
遍歷性即為各種狀態都要經歷,也就是混沌運動經歷其吸引域以內的各個狀態點,並且其運動軌跡不會交叉重複。
有界性
混沌運動從局部來看是不穩定的,但是從整體上來看是具有穩定特性的,無論其內部狀態多么複雜,其運動軌跡始終在一個固定的區域內,即為混沌的吸引域。由於混沌系統的所有解都都分布在此吸引域內,因此混沌系統整體是穩定、有界的。
分維性
維數是描述吸引子結構複雜程度的量,而混沌的分維特性是用來描述混沌運動軌跡的幾何形態的。比如說,分維數為2.06的洛倫茲模型,它是用來描述大氣混沌的;分維數為1.26,它是用來描述Koch雪花曲線的。在相空間內,由於混沌運動的無限扭結、摺疊和纏繞,於是構成了具有無窮多層的自相似結構。
標度性
標度不變性是指貌似無序、毫無規律的混沌系統的運動狀態,但是只要具有充足的外界條件,足夠高的實驗設備、數值精度,就可以得到混沌運動在極小的混沌區域內的有序的運動軌跡。
普適性
普適性體現了混沌運動的內在規律,它所指的是系統在即將進入混沌態時,不同的混沌系統所體現出來的一些共同特性,它不會因為參數或方程發生變化而做出改變。另外,混沌常數決定了混沌運動的普適性,如Feigenbaum常數。
隨機性
混沌由確定系統產生,卻又是一種類似隨機的運動,它具有內在隨機性,並且不受外界條件影響,其內在隨機性表現在吸引子區域內的每一點的機率分布密度函式都不等於零,這也體現出了混沌整體穩定、局部不穩定的特性。混沌對初始條件的高度敏感性直接導致了混沌的內在隨機性。
正李雅普諾夫指數
在發現混沌之前,人們認為確定系統存在三種運動狀態:定態、準周期態和周期態。混沌態的發現改變了人們的這一固有看法,混沌系統具有整體穩定,局部不穩定的特點,其運動軌跡永不交叉、重複。李雅普諾夫指數反映的是混沌系統運動軌道之間的相互分離程度,正李雅普諾夫指數的存在與否是確定系統是否處於混沌狀態的重要標誌,而指數的大小是體現蝴蝶效應強弱的標誌。在超混沌系統中,至少存在兩個正李雅普諾夫指數。
系統識別
波形圖與相軌圖
該方法主要是將系統的運動狀態轉變成電信號後在示波器或信號處理機上顯示出來,根據顯示結果來判斷是否有混沌發生,可以利用變換電路,觀察系統運動的位移、速度與時間的關係的波形圖,對是否發生混沌進行識別。對於混沌運動來說,它們一般呈現為不規則的雜亂波,也可以將感測器測得的狀態與時間的關係的電信號經過變換電路,轉換成位移和速度的信號輸人示波器中,就可以得到二維的相軌圖。如果是混沌運動,則相軌圖呈現為不規則的螺旋雜亂曲線。
龐加萊映射圖(Poincare Map)
龐加萊映射圖可以較容易地判斷系統運動是否周期的,具體做法是將相軌線按激勵(擾動)周期取點離散化,在取得系統運動位移和速度的波信號後,顯示相圖時,按擾動的周期作點的顯示,並將這些點的位置進行記錄,即可得到龐加萊映射圖。當系統的運動為極限環運動時,在龐加萊映射截面上簡化為一個不動點;當系統的運動為周期運動時,在龐加萊映射截面上簡化為n個點(稱為周期n運動);當系統的運動為非周期的混沌運動時,在龐加萊映射截面上則為沿一條直線段或一條曲線弧分布著的點的集合。因此龐加萊映射可用來判斷一個系統是否為混沌系統。顯然,它是一種比較直觀的判斷方法。
李雅譜諾夫指數(Lyapunov Exponents)
在當今非線性的研究中LE指數得到了越來越多的套用。Lyapunov指數是衡量系統動力學特性的一個重要定量指標,它表征了系統在相空間中相鄰軌道間收斂或發散的平均指數率。對於系統是否存在動力學混沌,可以從其最大Lyapunov指數是否大於零非常直觀地判斷出來;一個正的Lyapunov指數,意味著在系統相空間中,無論初始兩條軌線的間距多么小,其差別都會隨著時間的演化而呈現指數率的增加以致達到無法預測,也即相鄰軌道迅速分離,這就是混沌現象。對收斂系統而言,由於從相鄰點出發的軌道,其距離逐漸變小,最終變為一個點或一個極限環,因此,相應李雅譜諾夫指數小於零。由此可知,可以利用系統的李雅譜諾夫指數來判斷一個系統的運動行為。
控制
(2)鎮定混沌,穩定某個不穩定平衡點、周期軌道,其特點是並不改變系統原有的運動形態。
(3)混沌同步,鎮定所需的混沌態,實現兩個或多個系統的混沌同步。
(4)混沌反控制,強化混沌系統原有的混沌態或使非混沌系統產生需要的混沌態。
(1)抑制或消除某些類型的混沌或超混沌;
(2)穩定在混沌或超混沌吸引子中所期望的不穩定周期態;
(3)通過控制達到新的動力學行為,但不一定是原來系統具有的運動形態;
(4)消除多重的混沌或超混沌吸引子流域;
(5)混沌同步,實現兩個或多個混沌系統在某種性能指標上達到一致;
(6)混沌反控制,產生非混沌系統的混沌或增強原來混沌系統的混沌;
(7)分岔的控制與反控制;