集函式

集函式是測度論中定義的概念，是以集類為定義域的函式。關於集函式，也可引入單調性、收斂性等概念。

基本介紹

• 中文名：集函式
• 外文名：set function
• 適用範圍：數理科學

簡介

集函式是測度論中定義的概念，是以集類為定義域的函式。

設𝒞是Ω上的一個集類，K是實數域或複數域，稱映射μ:𝒞→K為定義在𝒞上的集函式。重要的（數值）集函式有測度、集上的積分等。若實值集函式的值可允許取+∞或-∞，則稱此集函式為擴充實值集函式。

性質

關於集函式，也可引入單調性、收斂性等概念。

例如，設μ是定義在集類𝒞上的實值集函式，如果對任意A,B∈𝒞，A⊂B，均有μ(A)≤μ(B)，則說μ在𝒞上是單調增加的。

設{μ_n}是集類𝒞上的集函式列，若對於每個A∈𝒞，數列{μ_n(A)}收斂，則說{μ_n}在𝒞上收斂。若對於每個A∈𝒞，有，則稱{μ_n}在𝒞上一致收斂於μ。

向量值集函式

當K是向量空間或運算元集時，分別稱映射μ:𝒞→K為𝒞上的向量值集函式或運算元集函式。

常見的這種集函式有向量值測度、譜測度和譜積分等。