正規化子

設G為群，a是G中給定的元素，a的正規化子N(a)表示G中與a可交換的元素構成的集合，即由確定的元素（確定子群的元素）可交換群的元素組成的集合（子群）。

基本介紹

• 中文名：正規化子
• 定義：交換的元素構成的集合
• 學科：數學
• 表達式：N(a)={x|x∈G & xa=ax}

定義

設 是群 的一個子集，稱

為 在 中的正規化子，元素的正規化子記為 。

相關定理

定理1

設 是群 的任一非空子集，則

(1)

(2) 當 時， 且 。

證明（1）因為 ，故 非空，又在 中任取x，y，則 ， ，從而

即 ， ，故 。

（2）任取 ，由於H是子群，故 從而

又任取 ，則 ，從而 。

如果 ，則對K中任意元素k便有 ，從而便有 ，即

這就是說子群的正規化子 (也叫H的正規化群)是 中以H作為其正規子群的最大子群。

顯然子群H的正規化子是整個群 若且唯若H是群 的一個正規子群，另外也可能出現另一種極端，即 ，例如三次對稱群 的子群 就屬於這種情況。

定理2

設 是群 的一個非空子集， 為 在 中的正規化子，則 中與共軛的子集數等於

，即S的所有共軛子集與 關於 的所有陪集間可建立雙射。

證明 令是中含的共軛子集類（即與共軛的全體子集），再令

若 ,則便有 ,從而

即 是M到 的左陪集的一個映射，又易知 還是滿射和單射，從而為雙射。

定理3

pq階群（p，q為素數且p<q）有唯一的q階正規子群。

定理4

引理 設 ，是群 的兩個共軛子群，且 , ，則

即

定理 設 是群 的一個共軛元素類，則 中各元素的正規化子作成的集合恰好是 的一個共軛子群類。

證明 任取 ，且設 ，由引理有

又設子群H與 共軛，其中 ，令

則由引理知

但是 ，即與 共軛的子群必為 中某元素的正規化子。

定理5

如果群 中有一個具有限指數（大於1）的子群，則在 中必有一個具有限指數（大於1）的正規子群。