除子

除子概念起源於代數幾何。 這是代數幾何最為關鍵的概念之一。一條代數曲線上的除子就是曲線有限個點的帶有重數的組合；一片代數曲面上的除子就是曲面上有限條代數曲線的帶有重數的組合；更一般的， 一個n維代數簇上的除子就是它上面有限個n-1維代數超曲面的帶有重數的集合。

基本介紹

• 中文名：除子
• 外文名：divisor
• 套用：代數幾何
• 領域：數理科學

定義

除子是代數幾何中的一個重要概念。在黎曼曲面 上，它可以簡單的定義為 上的點的(整係數)形式和， 。一般地，對於代數閉域上的非奇異代數簇，它可以定義為余維為一的子簇的(整係數)形式和，也可以定義為層 的一個整體截面。在滿足一定條件的（可以是奇異的）代數簇上，這兩種定義分別推廣成Weil除子和Cartier除子。

黎曼曲面上的除子

在黎曼曲面 上，它可以簡單的定義為 上的點的(整係數)形式和， ，其中 是 上的點。型如 的除子被稱為素除子。一般的除子都是素除子的線性組合。 上的全部除子構成一個交換群，記作 。

對於 上的非零亞純函式 ，我們可以定義 的除子

其中 是 在 點零點的階（非零點的階為零，極點的階按負值計）。型如 的除子叫做主除子。主除子構成的子群記作 。除子類群定義作 。對於緊黎曼面，這是一個有限生成的交換群，它是緊黎曼面 的一個重要不變數。

從層論的觀點看，除子是一個局部的概念，對於上任意的除子，和的開集 ，可以定義在上的限制。函子 是上的層。

給定上任何一個除子 ，局部上 都可以被寫作一個函式對應的主除子。精確地說，一定存在的一組開覆蓋以及每個上的函式，使得。一般說來，在和的交集上，和的限制未必相等，但易見在上，存在一個處處非零的全純函式，使得。另外，的選取不是唯一的，因為我們總可以用一個處處非零的全純函式來修正它。反過來，任意一組這樣的數據，都給出了上的一個除子。

以上論證表明，黎曼面上的任意一個除子，都唯一地對應於層的一個整體截面。這是Cartier對於除子的觀點。

從Cartier的觀點出發，不難構造除子所對應的可逆層：取的一組開覆蓋，以及每個上的函式，使得。取上的平凡層，在交集上，如前所述是上的一個可逆函式，從而它定義了上平凡層的一個自同構。把這一同構視作粘合映射，不難驗證這一族粘合映射滿足cocycle條件，從而他們給出了上的一個可逆層。

反過來，對於黎曼曲面，每個可逆層都來自於一個除子。事實上，若是可逆層，令為任意一個亞純截面的除子，則。

易見主除子對應的可逆層同構於平凡層。兩個除子之和對應的可逆層是原來兩個除子對應之可逆層的張量積。若兩個除子之差為一主除子，則他們定義的線叢是同構的。

從線叢的觀點看，若兩個除子之差為一主除子，我們可以把它們視作等價。上面定義的映射給出了它與的一個同構。這裡是可逆層的同構類在張量積下構成的交換群。

任意一個除子，我們可以定義的次數。根據定義，這一定是一個有限和。對於緊黎曼面，主除子的次數總為零。由此可見，除子的次數隻依賴於它在Picard群中的像。