基本介紹
- 中文名：降階建模
- 外文名：reduced order modeling
- 模型：微分方程、差分方程
- 學科：控制科學與工程
- 套用：自動化、電路系統
- 性質：對於用狀態空間方法表達模型
基本概念,降階步驟,降階建模方法,Krylov 子空間法,平衡截斷法,正交分解法,發展趨勢與展望,多學科設計對降階模型提出挑戰,自適應降階模型研究現狀,
基本概念
降階建模(reduced order modeling)方法是最佳化設計、最佳化控制和反問題套用中常見的方法。其降維本質是將隨時間變化的多維物理過程進行低維的近似描述，在捕捉系統能量的意義上達到最最佳化，從而達到降低計算維數、減少計算量、節省計算時間和CPU負荷的效果
模型降階技術很早就在自動控制和電路系統領域得到套用，也一直是超大規模電路設計自動化軟體的理論基礎之一 。但這一基本而又樸素的思想， 作為一類具有理論依據較為系統的數學方法還是近些年的事情，如何將大規模複雜系統在一定條件下轉化為較小規模近似降階系統 ,並滿足降階系統與原系統誤差足夠小 ，儘可能保持原系統穩定性、無源性和結構特性等主要性能 ,同時降階算法穩定高效等 ，也是當前計算數學的前沿研究課題 。 到目前為止 ，眾多具有較為嚴格數學理論基礎的模型降階方法基本上是關於線性系統的。從數學上來看，最主要的降階建模方法包括 Krylov 子空間法、平衡截斷法和正交分解法 3種。
降階步驟
根據實際設計需要，在合理時間內對系統性能和特徵進行評估就必須努力簡化系統模型的階數。
模型降階的基本思想就是將卡爾曼的最小實現理論套用於內都平衡模型上作為可控可觀測子空間，得到低階模型。可見模型降階包含了模型階數與由模型所反映的系統性能的程度之間的折中。其關鍵是去掉對脈衝回響不起作用的弱系統，得到一個其脈衝回響與全階系統極相似的 “占優”子系統 這個“占優 子系統就是所求的低階模型。
模型降階的一般步驟：
（1）收集全階模型的信息。如全階模型隨時間變化的數值解；
（2）構造降階模型所在的低維空間。如採用SVD方法對全階模型進行截斷，只保留全階模型的主要信息，捨棄大部分非主要的信息，構成低維空間的正交基。
（3）將全階模型投影到低維空間，獲得降階模型。
降階建模方法
常用的模型降階方法：特徵正交分解法（Proper Orthogonal Decomposition, POD）、動力模態分解法（DMD）等。其中POD方法套用最為廣泛。
Krylov 子空間法
最基本和最重要的模型降階方法是 Krylov子空間方法 , 其核心思想是採用標準正交列向量基對系統進行模型降階，使得降階系統的傳遞函式對於原始線性系統的傳遞函式在指定頻率區域內有很好的近似。Krylov子空間方法在數學理論上相當完善，其優點是算法穩定、簡單高效且能保持系統的基本特性。典型的Krylov方法包括Arnoldi降階算法及其改進；Lanczos降階算法及其改進；PRIMA算法及多重Krylov子空間算法等。
平衡截斷法
Moor提出的平衡截斷法及其系列改進方法通過選擇適當的映射子空間來獲得高性能降階模型。平衡截斷法能直接給出降階系統與原始系統之間的誤差關係，並能夠保持原始系統的穩定性。其主要缺點在於降階過程需要求解兩個Lyapunov方程，計算量比較大。因此對於百萬階以上超大規模系統，平衡截斷法降階過程的巨大計算耗費會使得降階模型的高效性失去實際意義。
正交分解法
POD方法，也被稱為Kahunen-Loeve分解法，它通過一些人發展起來（首先是Kosambi），並由主成分分析、Kahunen-Loeve分解和單一值分解而為世人所熟知。該方法常被用來獲取在湍流流動、結構振動和昆蟲步態上低維近似描述，也被用於災害探測上來對動態系統的套用舉例，同時還被廣泛套用於圖像處理、信號分析和數據壓縮。國內外有很多人在處理模型降階時選擇使用POD方法，比如Boris Kramer將POD方法套用於耦合的Burgers方程、Christopher Jarvis將其套用於研究具有狄利克雷邊界和紐曼-狄利克雷邊界的Burgers方程，G. Berkooz，P. Holmes和J. L. Lumley將其套用於分析湍流模型。
基於函式正交分解的函式逼近論降階模型方法目前主要發展了兩類。 一類是對系統的狀態變數或傳遞函式在已知正交函式基下進行展開，然後再對系統進行降階。其優點是簡單明了，但計算過程不穩定，系統穩定性和無源性難以保證 。另一類是由系統的近似樣本數據集通過構造一組基向量來對系統進行降階，即本徵正交分解法 (proper orthogonal decomposition, POD)，可有效地對非線性系統進行降階,在數據處理中得到廣泛套用，成為當前最受關注的降階方法之一。
發展趨勢與展望
多學科設計對降階模型提出挑戰
由於ROM 技術提供了比原系統自由度低得多的降階模型，使得ROM 能夠得到計算機近乎實時的處理，同時 ROM擁有足夠的精度，ROM自然被寄予厚望用來進行與流場相關的多學科最佳化與設計。然而不幸的是目前幾乎所有 ROM 方法，包括系統辨識方法和特徵模態方法都是數據驅動的經驗模型，模型的精度強烈依賴構建ROM時流場的狀態，例如，雷諾數、初始條件和邊界條件，對流場參數變化非常敏感，缺乏足夠的魯棒性。當參數發生哪怕是微小變化時ROM的精度就會大大降低，不滿足ROM在氣動彈性設計與控制等多學科領域設計與仿真套用中的要求。
自適應降階模型研究現狀
由於傳統POD/ROM的出現也不過是近10年的事情 , 而且對它在無流場參數變化系統中的套用仍然是當前計算氣動彈性力學的研究熱點，因此很少有人關注 ROM 對流場參數變化敏感的問題。從目前能查到的文獻來看，最早關注這個問題的可能是美國 Syracuse 大學的 Glauser 教授。他在研究微型飛行器時為了對風洞實驗在不同馬赫數和不同迎角下得到的流場數據利用 POD 方法進行建模，以便預測柔性機翼在任意飛行狀態下的表面流場，於 2004 年提出了 GPOD 方法。其主要思想是將參數空間多個點，如多個馬赫數和迎角下的流場解都包括在內構成一個更大的 snap-shot 矩陣，然後再生成 POD 基。該方法在極低馬赫數 0.04 ∼ 0.05 和 0度 ∼ 20度攻角之間變化獲得了較好的效果。但是目前框架內的 GPOD 方法有兩個主要的缺點，一是 snapshot 假定為非線性定常流場的線性擾動 ，因此難以包括不同定常條件下的非線性流場解，會導致 snapshot 矩陣的不一致性；二是包括不同參數空間的 snapshot 矩陣會大大降低 POD 基的收斂性，從而會導致 POD 基對任何一個馬赫數都不是最優的。此外，如果飛行包線範圍比較大，會導致巨大的 snapshot 矩陣從而難以求解其特徵值，這樣 GPOD 在非線性相當嚴重的跨音速區就失效了。
