開映射定理

在泛函分析中，開映射定理是一個基本的結果，它說明如果巴拿赫空間之間的連續線性運算元是滿射的，那么它就是一個開映射。更加精確地：該定理的證明用到了貝爾綱定理，X和Y的完備性都是十分重要的。如果僅僅假設X或Y是賦范空間，那么定理的結論就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空間，那么定理的結論仍然成立。

基本介紹

• 中文名：開映射定理
• 外文名：open mapping theorem
• 套用：泛函分析
• 學科：數理科學
• 證明：貝爾綱定理

結果

開映射定理有一些重要的結果：

1.如果 是巴拿赫空間X和Y之間的雙射連續線性運算元，那么逆運算元 也是連續的。(Rudin 1973, 推論2.12) ；

2.如果 是巴拿赫空間X和Y之間的線性運算元，且如果對於X內的每一個序列( )，只要xn → 0且 就有 ，那么A就是連續的（閉圖像定理）。(Rudin 1973, 定理2.15)。

證明

我們需要證明，如果 是巴拿赫空間之間的連續線性滿射，那么 就是一個開映射。為此，只需證明 把 內的單位球映射到 的原點的一個鄰域。

設 分別為 和 內的單位球。那么 是單位球的倍數 的序列的交集， ，且由於 是滿射，

根據貝爾綱定理，巴拿赫空間 不能是可數個無處稠密集的並集，故存在 ，使得 的閉包具有非空的內部。因此，存在一個開球 ，其中心為 ，半徑 ，包含在 的閉包內。如果 ，那么 和 位於 內，因此是 的極限點，根據加法的連續性，它們的差 是 的極限點。根據A的線性，這意味著任何 都位於 的閉包內，其中 。於是可以推出，對於任何 和任何 ，都存在某個 ，滿足：

且 (1)

固定 。根據(!)，存在某個 ，滿足 且 ||y−A x ₁||<δ / 2。定義序列 如下。假設：

且

根據(1)，我們可以選擇 ，使得：

且

因此 滿足(2)。

設 從(2)的第一個不等式可知，是一個柯西序列，且由於是完備的，收斂於某個。根據(2)，序列趨於，因此根據A的連續性，有。而且：

這表明每一個都屬於，或等價地，內的單位球的像包含了Y內的開球。因此，是內0的鄰域，定理得證。

推廣

或的局部凸性不是十分重要的，但完備性則是：當和是F空間時，定理仍然成立。更進一步，這個定理可以用以下的方法與貝爾綱定理結合(Rudin, 定理2.11)：

設為F空間，為拓撲向量空間。如果是一個連續線性運算元，那么要么是內的貧集，要么。在後一個情況中，是開映射，也是空間。 更進一步，在這個情況中，如果是的核，那么有一個標準分解，形如下式：

其中是對閉子空間的商空間（也是空間）。商映射是開放的，且映射是拓撲向量空間的同構(Dieudonné, 12.16.8)。