長幅圓內旋輪線

長幅圓內旋輪線

長幅圓內旋輪線和短幅圓內旋輪線統稱內次擺線,又稱變幅內擺線,是內擺線的一種,是平面上半徑為r的動圓Q(稱為母圓)在半徑為R的定圓O(稱為基圓)內部無滑動地滾動時,固定在圓Q平面內的點M的軌跡。設點M到動圓心的距離為l,此旋輪線的參數方程為:x=(R-r)cosφ+lcos(R/r-l)φ;y=(R-r)sinφ-lsin(R/r-l)φ,其中(R>r),當l>r時為長幅圓內旋輪線;當l<r時為短幅圓內旋輪線;當R=2r時為橢圓。

基本介紹

  • 中文名:長幅圓內旋輪線
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題平面解析幾何
  • 簡介:圓內旋輪線的一種
基本介紹,例題解析,

基本介紹

圓內旋輪線 長幅圓內旋輪線是圓內旋輪線的一種,圓內旋輪線是一動圓沿一定圓內部滾動而無滑動時,圓周上一點M的軌跡,或叫內擺線。
圓內旋輪線的參數方程是
其中a是定圓半徑,b為動圓半徑,
是動圓圓心和定圓圓心連線與X軸的夾角。
圓內旋輪線的形狀由m=a/b的值決定(如圖1~圖4)。
特殊地,當m=4時,曲線有4支,叫做星形線,其方程為
(如圖3)。
圓內旋輪線也叫內擺線。
長(短)幅圓內旋輪線一動圓沿一定圓內部滾動而無滑動時,圓外一點M(圓內一點N)的軌跡叫做長(短)幅圓內旋輪線。
長(短)幅圓內旋輪線的參數方程是
其中a為定圓半徑,b為動圓半徑,
是動圓外(內)一點M(N)到動圓心的距離,λ>1為長幅圓的內旋輪線(如圖5),0<λ。
特殊地,當a=2b時,長(短)幅圓內旋輪線是橢圓。
長(短)幅圓內旋輪線統稱為內次擺線。

例題解析

一定圓O,半徑為R,一動圓C,半徑為r(R>r),當動圓與定圓內切而滾動時,試求動圓上一定點P的軌跡。
長幅圓內旋輪線
圖7
取點P在兩圓相切的切點P'時的動圓位置為初始位置(圖7),以初始位置的兩圓連心線為x軸,O為原點,建立直角坐標系.設動圓經過某一時刻後,圓心在C。令OC'繞點O轉到OC位置時轉過的角為t,小圓的半徑C'P’繞圓心轉到CP位置時轉過的角為φ,則
其中
用m代替R/r,得
其中t為參數,r是動圓半徑,m是定圓與動圓的半徑之比。
長幅圓內旋輪線
圖8
說明 當m=2時,軌跡方程為
故軌跡是定圓位於x軸上的直徑(圖8).
當m=4時,軌跡方程為
此軌跡稱為四尖內旋輪線,也稱星形線(圖7),
當m為任意值時,軌跡稱為圓內旋輪線或內擺線.如點P位於動圓半徑上,到動圓圓心的距離為λr,當λ>1時,軌跡稱為長幅圓內旋輪線;當0<λ<1時,軌跡稱為短幅圓內旋輪線。

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