遞推數列(數列名稱)

遞推數列(數列名稱)

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遞推數列是可以遞推找出規律的數列,找出這個規律的通項式就是解遞推數列。求遞推數列通項公式的常用方法有:公式法、累加法、累乘法、待定係數法等共十種方法。

基本介紹

  • 中文名:遞歸數列
  • 外文名:recursive sequence
  • 數列項數分類有窮數列和無窮數列
  • 特殊的數列:呈周期性變化的數列叫做周期數列
  • 常用方法公式法、累加法等共十種方法
相關概念,數列分類,遞推公式,等差數列,相關定義,相關公式,性質,套用,等比數列,相關定義,相關公式,性質,套用,等和數列,定義,性質,常見形式,特別數,特殊數列,著名數列,

相關概念

首先數列的定義是:按一定次序排列的一列數稱為數列(sequence of number)。數列中的每一個數都叫做這個數列的項。
排在第一位的數列稱為這個數列的第1項(通常也叫做首項),排在第二位的數稱為這個數列的第2項……排在第n位的數稱為這個數列的第n項。所以,數列的一般形式可以寫成 a1,a2,a3,…,an,…
簡記為{an}。
通項公式:數列的第N項an與項的序數n之間的關係可以用一個公式表示,這個公式就叫做這個數列的通項公式。
數列中數的總數為數列的項數。特別地,數列可以看成以正整數集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})為定義域的函式an=f(n)。
如果可以用一個公式來表示,則它的通項公式是an=f(n).

數列分類

  1. 按照項數是否有限分為有窮數列和無窮數列。
    (1)項數有限的數列為“有窮數列”(finite sequence)
    (2)項數無限的數列為“無窮數列”(infinite sequence)
  2. 按照項與項的大小關係分為遞增數列遞減數列擺動數列
    (1)從第2項起,每一項都不小於它的前一項的數列叫做遞增數列;
    (2)從第2項起,每一項都不大於它的前一項的數列叫做遞減數列;
    (3)從第2項起,有些項大於它的前一項,有些項小於它的前一項的數列叫做擺動數列;
  3. 按照有界性分為有界數列無界數列
    一個數列每一項的絕對值都小於某個正數(即|An|<a, a∈R+)這個數列是有界數列,反之為無界數列。
  4. 一些特殊的數列
    (1)各項呈周期性變化的數列叫做周期數列(如三角函式);
    (2)各項相等的數列叫做常數列。(注意常數列是遞增數列遞減數列的特殊情況。)

遞推公式

遞推公式:如果數列{a[n]}的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示,那么這個公式叫做這個數列的遞推公式。
用遞推公式表示的數列就叫做遞推數列
比如等比數列An=A1*q(n-1)可以表示為:An=q*A(n-1)

等差數列

相關定義

一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等於同一個常數,這個數列就叫做等差數列(arithmetic sequence),等差數列可以縮寫為A.P.。這個常數叫做等差數列的公差(common difference),公差通常用字母d表示。
由三個數a,A,b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。這時,A叫做a與b的等差中項(arithmetic mean)
有關係:A=(a+b)/2

相關公式

通項公式
an=a1+(n-1)d
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
an=kn+b(k,b為常數)
求和公式
Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
Sn=(d/2)*n2+(a1-d/2)n
相關計算
1.等差數列:
通項公式an=a1+(n-1)d (a1:首項;d:公差;an:第n項)
ak=a1+(k-1)d (ak為第k項)
若a,A,b構成等差數列 則 A=(a+b)/2
2.等差數列前n項和:
設等差數列的前n項和為Sn
即 Sn=a1+a2+...+an;
那么 Sn=n*a1+n*(n-1)*d/2=n2*d/2+(a1-d/2)*n
還有以下的求和方法: 1,不完全歸納法 2 累加法 3 倒序相加法

性質

且任意兩項am,an的關係為:
an=am+(n-m)d
它可以看作等差數列廣義的通項公式。
從等差數列的定義、通項公式,前n項和公式還可推出:
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差數列,等等。
和=(首項+末項)×項數÷2
項數=(末項-首項)÷公差+1
首項=2和÷項數-末項
末項=2和÷項數-首項
設a1,a2,a3為等差數列。則a2等差中項,則2a2=a1+a3

套用

日常生活中,人們常常用到等差數列如:在給各種產品的尺寸劃分級別
時,當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時,常按等差數列進行分級。
若為等差數列,且有an=m,am=n.則a(m+n)=0。

等比數列

相關定義

一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等於同一個常數,這個數列就叫做等比數列(geometric sequence)。這個常數叫做等比數列的公比(common ratio),公比通常用字母q表示。
等比數列可以縮寫為G.P.(Geometric Progression)。
如果在a與b中間插入一個數G,使a,G,b成等比數列,那么G叫做a與b的等比中項
有關係:G2=ab;G=±(ab)1/2
註:兩個非零同號的實數等比中項有兩個,它們互為相反數,所以G2=ab是a,G,b三數成等比數列的必要不充分條件

相關公式

通項公式
an=a1qn-1
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
求和公式
當q≠1時,等比數列的前n項和的公式為
Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)
相關計算
1.等比數列:
通項公式 an=a1*qn-1(a1:首項;an:第n項)
an=a1*qn-1,am=a1*qm-1
則an/am=qn-m
(1)an=am*qn-m
(2)a,G,b 若構成等比中項,則G2=ab (a,b,G≠0)
(3)若m+n=p+q 則 am*an=ap*aq
2.等比數列前n項和
設 a1,a2,a3...an構成等比數列
前n項和Sn=a1+a2+a3...an
Sn=a1+a1*q+a1*q2+....a1*qn-2+a1*qn-1
這個公式雖然是最基本公式,但一部分題目中求前n項和是很難用下面那個公式推導的,這時可能要直接從基本公式推導過去,所以希望這個公式也要理解。
Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
Sn=na1 (q=1)
求和一般有以下5個方法: 1,完全歸納法(即數學歸納法) 2 累乘法 3 錯位相減法 4 倒序求和法 5 裂項相消法

性質

另外,一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數後構成一個等差數列;反之,以任一個正數C為底,用一個等差數列的各項做指數構造冪Can,則是等比數列。在這個意義下,我們說:一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
性質:
①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,則am*an=ap*aq
②在等比數列中,依次每 k項之和仍成等比數列.
G是a、b的等比中項”“G2=ab(G≠0)
(5) 等比數列前n項之和Sn=a1(1-qn)/(1-q)
在等比數列中,首項a1與公比q都不為零.

套用

等比數列在生活中也是常常運用的。
如:銀行有一種支付利息的方式---複利。
即把前一期的利息和本金價在一起算作本金,
再計算下一期的利息,也就是人們通常說的利滾利。
按照複利計算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期
如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等於同一個常數,這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。
(1)等比數列的通項公式是:an=a1*qn-1
若通項公式變形為an=a1/q*qn(n∈N*),當q>0時,則可把an看作自變數n的函式,點(n,an)是曲線y=a1/q*qx上的一群孤立的點。
(2)求和公式:Sn=na1(q=1)
Sn=a1(1-qn)/(1-q)
=(a1-a1*qn)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*qn ( 即a-aqn)
(前提:q ≠ 1)
任意兩項am,an的關係為an=am*qn-m
(3)從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出: a1*an=a2*an-1=a3*an-2=…=ak*an-k+1,k∈{1,2,…,n}
(4)等比中項:aq·ap=ar2,ar則為ap,aq等比中項。
記πn=a1*a2…an,則有π2n-1=an*2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1

等和數列

定義

“等和數列”:在一個數列中,如果每一項與它的後一項的和都為同一個常數,那么這個數列叫做等和數列,這個常數叫做該數列的公和。
對一個數列,如果其任意的連續k(k≥2)項的和都相等,我們就把此數列叫做等和數列

性質

必定是循環數列

常見形式

an=Sn-Sn-1 (n≥2)
累和法(an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...將以上各項相加可得an)。
逐商全乘法(對於後一項與前一項商中含有未知數的數列)。
化歸法(將數列變形,使原數列的倒數或與某同一常數的和成等差或等比數列)。

特別數

在等差數列中,總有Sn S2n-Sn S3n-S2n
2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn
即三者是等差數列,同樣在等比數列中。三者成等比數列
不動點法(常用於分式的通項遞推關係)
不動點法求數列通項
對於某些特定形式的數列遞推式可用不動點法來求

特殊數列

特殊數列的通項的寫法
1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n
2,4,6,8,10,12,14.......-------an=2n
1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1
-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)n
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)n+1
1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)n+1+1]/2
1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2
9,99,999,9999,99999,......... ------an=10n-1
1,11,111,1111,11111.......--------an=[10n-1]/9
衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn......---------an=[10n-1]*n/9,n為1-9的整數
1,4,9,16,25,36,49,.......------an=n^2
1,2,4,8,16,32......--------an=2n-1

著名數列

等差數列典型例題:
1/(1x(1+1))+1/(2x(2+1))+1/(3x(3+1))+1/(4x(4+1))+1/(5x(5+1))...............1/(n(n+1)) 求Sn
解析:
Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).............[1/n-1/(n+1)]
=1-1/(n+1)
大衍數列 0、2、4、8、12、18、24、32、40、50------
通項式:
an=(n×n-1)÷2 (n為奇數)
an=n×n÷2 (n為偶數)
前n項和公式:
Sn = (n-1)(n+1)(2n+3)÷12 (n為奇數)
Sn = n(n+2)(2n-1)÷12 (n為偶數)
大衍數列來源於《乾坤譜》,用於解釋太極衍生原理。
斐波那契數列 1、1、2、3、5、8、13、21、……
通項式
F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]n - [(1-√5)/2]n}
這樣一個完全是自然數的數列,通項公式居然是用無理數來表達的。
還可以發現 Sn-2 +Sn -1=Sn

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