達布上和

達布上和與達布下和是描述函式可積的工具，使用達布上和與達布下和可以給出達布積分的概念。達布積分等價於黎曼積分，這意味著一個函式達布可積若且唯若它是黎曼可積。

達布和、達布積分是以發明者Jean-Gaston Darboux(1842.08.14 – 1917.12.23)的名字命名的。

定義

曲間的劃分(partition)

定義：曲間 的一個劃分是指一個有限的序列 ，滿足

達布和

定義1.設 是定義在曲間 上的函式，設 是 的一個劃分，設

記

稱 為關於劃分P的達布上和與達布下和。

達布積分

定義2.設 是定義在曲間 上的函式，記

稱 為 的達布上積分與達布下積分，或者，記為

達布可積

定義3.設 是定義在曲間 上的函式，稱 是達布可積的，若

性質

以下總假定 是定義在曲間 上的函式。則達布和、達布積分各具有下列性質：

1）對於任何給定的劃分,達布上總是大於或等於達布下和。且具有下列不等式成立：

2）達布積分滿足下列不等式：

3）對任意 ，

4） 是定義在曲間 上的函式，

5）對 ，

6）對

7）

是Lipschitz連續的。

例子

設是定義在曲間上的函式，設劃分是將平均分割成等分。則有

因此，有