近似詣零根(quasi-nil radical)是介於詣零根與雅各布森根之間的一種根性質。設R為一環，R的理想(左、右或雙邊)A，若對R的任一雙邊理想M，或有MA，或在R/M中(A+M)/M含R/M的非零詣零單邊理想，則稱A為R的近似詣零理想。
基本介紹
- 中文名：近似詣零根
- 外文名：quasi-nil radical
- 領域 ：數學
- 學科：一般根論
- 性質：介於詣零根與雅各布森根之間
- 特點：遺傳根
概念,詣零根,雅各布森根,遺傳根,根性質,一般根論,
概念
近似詣零根(quasi-nil radical)是介於詣零根與雅各布森根之間的一種根性質。設R為一環，R的理想(左、右或雙邊)A，若對R的任一雙邊理想M，或有MA，或在R/M中(A+M)/M含R/M的非零詣零單邊理想，則稱A為R的近似詣零理想。R的全部近似詣零單邊理想之和，稱為R的近似詣零根，用NQ表示。謝邦傑於1956年引進的這個根是遺傳根。NQ=0的環稱為Q半單環，吳品三於1988年得出Q半單環的結構定理：環R是Q半單的充分必要條件是R為一些Q半單素環的亞直和。對環R的詣零根N而言，N是否包含R的全部詣零單邊理想，是個未解決的問題。而R的近似詣零根包含了R的全部詣零單邊理想。
詣零根
詣零根亦稱克德根。簡稱K根。它是對一般環引入的第一個具體根。詣零性質是根性質。環R的最大冪零元理想(即最大詣零理想)稱為環的克德根，用NK表示。NK包含R的一切詣零雙側理想。若NK=0，則稱R為K半單環，也稱克德半單環。王湘浩於1955年得出K半單環的結構定理：環R是K半單的充分必要條件是R為一些K半單素環的亞直和。
雅各布森根
雅各布森根是以右(左)擬正則性為根性質的一種重要的根。設R是任意環，若R有本原理想，則環R的一切本原理想的交稱為R的雅各布森根，用J(R)表示.當R無本原理想，規定J(R)=R，此時R稱為J根環(雅各布森環)。雅各布森根還可以從多種角度描述：J(R)等於R的一切左本原理想的交，又等於R的最大的右擬正則理想，它包含R的一切右擬正則右理想，還等於R的最大左擬正則理想，它包含R的一切左擬正則左理想，同時，亦等於R的一切模的極大右理想的交，也等於R的一切模的極大左理想的交，又等於{x∈R|xa是右擬正則，對任意a∈R}.雅各布森根是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的。
遺傳根
遺傳根是對理想也保持的一種根性質。設R是一個根性質，若R根環的每個理想作為一個環仍是R根環，即根類R是一個對理想的遺傳類，則稱根性質R是一個遺傳根。根性質R是遺傳根的一個充分必要條件是，對任一環A的任一理想B，均有R(B)=B∩R(A)。遺傳根的半單類是本質擴張閉的，即，若一個環在這個根性質下有一個本質理想是半單環，則這個環本身也是半單環。反之，若一個根性質的半單類是本質擴張閉的，則這個根性質是遺傳的。
根性質
根性質是一般根論中的重要概念。由阿密蘇(Amitsur，S.A.)和庫洛什(Kurosh，A.)以公理化的方式定義，是各種不同的根的抽象和概括。在不區分互相同構的環的前提下，用字母R表示環可能具有的一個抽象的代數性質.具有性質R的環記為R環。若環A的理想B(作為一個環)是R環，則稱B是環A的R理想。若性質R適合下述條件：
1.R環的同態像仍是R環；
2.任一環A都有一個R理想N，它包含A的一切R理想；
3.剩餘類環A/N不含非零的R理想；
則R稱為根性質。
一般根論
一般根論是用公理化方法研究根概念的一般理論。20世紀50年代初，由阿密蘇(Amitsur，S.A.)和庫洛什(Kurosh，A.)同時獨立建立的理論，其目的是對環構造理論中的不同的根進行概括和抽象，研究它們的本質屬性。
根的概念的引入基於下述企圖：對所有的環進行分類，並對這種由抽象的代數系統所成的類有所闡明。這是一個十分困難的問題。韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M)於1908年提供了一個巧妙的方法：捨棄結構中的某一指定部分，保留其中具有良好性質的部分，從而把研究一般環的結構歸結為較容易研究的“保留”部分的環結構，捨棄的那一部分就稱為根。此後，人們對許多不同的根進行探討與研究，獲得許多深刻的結果。特別是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年的工作，對環構造理論作出了傑出的貢獻。
一般根論則離開了構造理論的本意，建立了根的公理化體系，拓廣了根的概念，使得根的研究進入一個更高的層次。
