《辛拓撲與規範場理論中的數學不變數》是依託北京大學，由劉小博擔任負責人，於2014年批准的國家自然科學基金重點項目。
該項目組成員在鏡像對稱、Gromov-Witten不變數理論中的Virasoro運算元、Gromov-Witten不變數普適方程、等變Donaldson理論、軌形上的開弦理論、通過典範度量構造研究SYZ猜想、辛流形上哈密頓系統的周期軌道與緊流形上閉測地線、緊緻光滑四維流形的最小虧格問題等多個研究方向取得重要成果。尤其是證明了Alexandrov猜想及其推廣，並在五次超曲面的高虧格Gromov-Witten不變數和鏡像對稱方面取得了重大進展。五次超曲面方面的進展推動和解決了關於這個流形上高虧格鏡像對稱和自由能勢函式結構的相當一大部分猜想。
基本介紹
- 中文名：辛拓撲與規範場理論中的數學不變數
- 批准號：11431001
- 依託單位：北京大學
- 負責人：劉小博
- 項目類別：重點項目
- 批准年度：2014年
- 資助經費：260（萬元）
- 研究期限：2015年1月1日至2019年12月31日
- 申請代碼：A0108
項目性質,項目分工,研究成果,人才培養,合作交流,人員合作,學術交流,項目資金,項目成員,
項目性質
- 項目定位
《辛拓撲與規範場理論中的數學不變數》主要研究辛拓撲和規範場理論中產生的與各種模空間有關的數學結構和不變數，如Gromov-Witten不變數普適方程和Virasoro猜想、約化Gromov-Witten不變數的計算、開Gromov-Witten理論與開弦、廣義的Gromov-Witten理論、模空間的分解與不變數的計算、Donaldson理論、開閉弦的對偶、辛雙有理幾何、Floer同調理論、具有非緊結構群的楊-Mills理論、辛流形上哈密頓系統的周期軌道與緊流形上閉測地線、局部鏡像對稱等。這些問題的核心是與模空間有關的幾何，分析，拓撲等性質的研究。該項目有望在這些課題的研究上取得重大進展。
項目分工
項目人員 | 研究方向 |
|---|---|
劉小博 | 項目負責人，同時負責Gromov-Witten不變數的Virasoro猜想和Gromov-Witten不變數普適方程方面的研究。 |
郭帥 | 負責高虧格Gromov-Witten不變數與鏡像對稱的相關研究。 |
陳柏輝 | 負責規範場中Donaldson理論、軌形的開弦和閉弦理論、規範西格瑪模型中辛渦流模空間及其套用、具仿射結構的典範度量的研究。 |
王嵬 | 負責辛流形上哈密頓系統的周期軌道與緊流形上閉測地線的相關研究。 |
戴波 | 負責具有非緊結構群的楊-Mills理論的研究。 |
蔣美躍 | 負責非緊流形上的Floer同調理論的研究。 |
項目人員 | 研究內容 |
|---|---|
劉小博 | 研究Gromov-Witten不變數的普適方程和Virasoro猜想。在項目執行期間劉小博與合作者解決了Alexandrov 猜想並把它推廣到以任意代數流形為靶空間的穩定映射模空間上,證明了穩定映射模空間上的Hodge積分和Gromov-Witten不變數可以用Virasoro運算元連線起來。在Alexandrov猜想的證明過程中, Kontsevich-Witten tau-函式的Virasoro約束起到重要作用。項目組成員郭帥與合作者也套用Alexandrov猜想的結果和證明過程中的一些構造得到了穩定曲線模空間上線性Hodge積分的Virasoro約束。 Gromov-Witten不變數的普適方程是研究一般流形上Virasoro猜想的重要工具，實際上也是目前所知的針對一般流形 上Virasoro猜想的唯一有效工具。 項目組成員劉小博在項目執行期間的一個工作是把劉小博和Kimura的一個關於普適方程的猜測從帶一個標記點的曲線模空間推廣到帶任意多個標記點的情形。目前對這個猜測的研究有很大進展，有望在將來能得到解決。如果進展順利，這項研究計畫還有可能得出決定一大類普適方程的有效方式。 |
郭帥 | 原計畫是希望解決全虧格的局部不變數的計算和結構性問題。實際上郭帥與合作者最終建立了一套解決緊緻Calabi-Yau三維流形情況的方法，局部的情況只是上述情況的特例。在擬定該項目研究計畫時，還沒有看到可以做原始鏡像對稱的希望。最近兩年的進展讓這一研究成為可能，郭帥與合作者最終完成了大家原來最關心的quanticCalabi-Yau流形上的虧格2的鏡像對稱，並在高虧格的鏡像對稱上取得很大進展。 |
陳柏輝 | 在等變Donaldson理論、軌形上的開弦理論和通過典範度量構造研究SYZ猜想三個研究方向進展順利。研究計畫中最初設定的子課題內容基本完成。Donaldson不變數的定義主要是依靠\mu映射，它的定義在拓撲範疇下很困難。項目組成員陳柏輝與合作者利用此前給出的光滑緊化的模空間以及引入“帶點的Donaldson模空間”給出了\mu映射的自然構造:隨著研究的進行和需要，關於開弦/開GW理論與Chern-Simons理論的對偶主要在考慮軌形的相關GW理論，特別是軌形上的開弦理論。而通過典範度量構造研究SYZ猜想則按計畫研究具有仿射結構的凱萊流形上的典範度量，但是為了研究SYZ猜想，需要進一步對帶奇點的情形有所突破，這方面的努力還在嘗試。 |
王嵬 | 研究辛流形上哈密頓系統的周期軌道與緊流形上閉測地線。在項目執行期間，研究目標基本完成。如對於n=4的情形解決了閉特徵數目的猜想，在一定條件下解決了Anosov猜想等。王嵬證明了SR^8$中任何緊凸超曲面上存在4個閉特徵，這對n=4的情形，解決了哈密頓分析中的一個長期猜想。同時證明了$R^{2n}$中任何緊凸超曲面上存在(n+1)/2個閉特徵，任何非退化緊單連通Finsler流形.上存在兩條閉測地線。此外，王嵬還得到了在一定附加條件下Finsler球面上非雙曲閉測地線下界的最佳估計。 |
戴波 | 研究具有非緊結構群的楊Mills理論。戴波曾考慮研究4維流形上的Kapustin-Witten方程的模空間結構,並利用該模空間定義4維流形的Kapustin-Witten不變數，以及3維流形的Complex Chern-Simons 理論。由Taubes的工作知道Kapustin-Witten方程的模空間結構很複雜，特別是此模空間的緊化非常困難，目前還沒有辦法取得實質進展。戴波在相關問題上將繼續進行研究。 |
蔣美躍 | 在項目執行期間研究計畫有所調整，原來有一個研究問題是餘切叢上帶磁場的超二次哈密頓系統周期解問題，轉向研究另外一類哈密頓系統，即自相似解問題以及4階Q-曲率方程問題。 |
研究成果
1、Kontsevich-Witten tau-函式與Hodge tau-函式之間的關係
Witten的一個猜想說KdV梯隊是KP梯隊的一個約化，因此Kdv梯隊的tau-函式也是KP梯隊的tau-函式。Witten的猜想由Kontsevich證明。因此這個函式被稱為Kontsevich-Witten tau-函式。如果考慮加入穩定曲線模空間上Hodge向量叢的陳示性類所產生的相交數，Kazarian證明了這些相交數的生成函式是KP梯隊的tau-函式。這個函式被稱為Hodge tau-函式。由可積系統理論可知KP梯隊的所有tau-函式的集合是無窮維李群GL（∞）作用下的一個軌道。因此一個有意思的問題是找出連線這兩個tau-函式的GL（∞）中的元素。GL（∞）的李代數中包含一類非常特殊的運算元，這些運算元生成了Virasoro代數的半個分支。Alexandrov猜測以上兩個tau-函式可以用Virasoro微分運算元連線起來。項目組成員劉小博和王戈浩證明了Alexandrov的這個猜想。另外Kazarian在證明Hodge tau-函式是KP梯隊的 tau-函式時候需要用到Hurwitz數的一些理論。結果給出了Kazarian定理的一個不需要Hurwitz數理論的新證明。
2、Hodge積分和Gromov-Witten不變數之間的關係
劉小博與余海江證明了對於任意一個代數流形，其所對應的穩定映射模空間上的線性Hodge積分的生成函式和這個流形的Gromov-Witten不變數的生成函式可以用Virasoro運算元聯接起來。當所考慮的代數流形是一個點的情形，這個結果就是由劉小博和王戈浩證明的Alexandrov猜想。此結果有助於進一步理解Hodge梯隊tau-函式的結構，對研究一般代數流形上的Gromov-Witten不變數有潛在的套用。可以用來研究Deligne-Mumford空間上的非線性Hodge積分的性質。另外在主要定理的證明過程中還發現了Givental量子化公式和Zassenhaus公式的一個有意思的聯繫。
3、穩定曲線模空間的tautological環生成元之間的關係（簡稱tautological關係）
劉小博和Kimura合作的一篇文章中，給出了帶一個標記點的情形下上述拓撲遞歸關係中花束係數的猜測公式。項目組成員劉小博研究的一個課題是這個猜測的推廣，即帶任意多個標記點的情形。另一方面Pixton，Cladder-Janda等人通過研究Double Ramification Cycle建立了psi類和邊界類的一些複雜的關係式。通過對Double Ramification Cycle關係中參數的特殊選取，劉小博研究了包含psi類和邊界類的一個特殊的線性方程組，並猜測這個方程組唯一決定所有g階psi類的單項式，並證明了一些特殊情形。劉小博的一個成果是證明了這個方程組和廣義Kimura-劉猜測是相容的。如果唯一性能夠得到證明，將完成廣義Kimura-劉猜測的證明。
4、虧格1的LG鏡像定理的證明
項目組成員郭帥和Dustin Ross合作，完成了虧格1的LG鏡像定理的證明。進一步，通過結合Zinger的鏡像定理，完成了LG/CY猜想的證明（arXiv：1703.06955），這是第一個實現了非半單上同調場論的高虧格LG/CY對應的例子。
5、虧格2的CY鏡像定理的證明
項目組成員郭帥和Felix Janda、阮勇斌合作，完成了虧格2的CY鏡像定理的證明（arXiv：1709.07392），得到多位該領域專家、ICM報告人的引用和高度評價。同時，郭帥與張懷良、李衛平、周杰合作，通過MSP理論給了zinger的虧格1的鏡像定理的一個新的證明（arXiv：1711.10118），作為MSP理論有效性的一個檢驗。
6、五次超曲面的任意虧格的GW不變數的遞歸算法
項目組成員郭帥與李駿、李衛平、張懷良合作，通過建立一種新的NMSP理論，證明了BCOv的費曼公式等一系列結果，給出了對於五次超曲面的任意虧格的Gw不變數的一種遞歸的算法，從而解決了該領域一系列重要猜想（包括BCOv猜想，Yamaguchi-Yau有限生成猜想等），詳見郭帥與合作者發表的一系列文章（arXiv：1809.08806、arXiv：1809.11058、arXiv：1810.00394）。
同時，另一種基於cosection和 p-field的代數幾何方法也取得了非常重大的進展。郭帥與Felix Janda、阮勇斌合作，在之前結果的基礎上，證明了Yamagichi-Yau的全純反常方程，該方程意味著得到了一種所有虧格的遞歸的算法。
7、二維射影空間相對橢圓相對曲線的相對Gromov-Witten不變數的生成函式
項目組成員郭帥與Pierrick Bousseau、鄔龍挺、樊宏路合作，證明了二維射影空間相對橢圓曲線的相對Gromov-Witten不變數的生成函式滿足全純反常方程。這是第一個關於曲線以外的相對不變數的全虧格結果。
8、軌形群胚與Gromov—Witten理論
項目組成員陳柏輝與合作者用群胚語言處理群胚，建立起了軌形群胚的“2-範疇”，特別是提出強纖維積的概念，使範疇大大簡化；在軌形範疇下，討論uniruledness性質，證明其是雙有理不變數，進而討論了一般加權blowup下相對不變數與絕對不變數的對應關係。此外，假設M是一緊緻複流形，G是緊李群作用在M上，在等變的意義下建立了類似於Chen-Ruan的等變同調環。陳柏輝與合作者通過群胚里的手法，引入軌形中拉格朗日子胚的概念，這可以理解為是一種oriented fold。在此基礎上，提出了建立開弦理論的框架。
9、模空間上的K理論
項目組成員陳柏輝與合作者建立了虛擬流形系統的指標定理，並且當模空間具有旋量（spin）結構時，定義了基本類。還研究了全純曲線模空間的spin結構。
10、辛渦流理論
項目組成員陳柏輝在一般帶有刺破點的黎曼面上引入了L2模空間理論，建立了L2-辛渦流模空間理論。與他人合作，套用此技術建立了哈密爾頓Gw模空間理論，研究了哈密爾頓Gw不變數與通常GW不變數的關係。
11、歐氏空間中的緊凸超曲面上的閉特徵值
項目組成員王嵬證明了任何R中的緊凸超曲面上存在至少4個閉特徵，這對n=4的情形解決了哈密頓分析中的一個長期猜想；還給出了R中的緊凸超曲面上閉特徵個數的一個新的下界估計。
12、Finsler流形上非雙曲閉測地線的存在性
項目組成員王嵬與人合作證明了任何緊單連通非退化Finsler流形上存在至少兩條閉測地線，這將黎曼幾何中的經典結果推廣到Finsler幾何中；還給出了具有非負曲率的緊單連通非退化Finsler流形上閉測地線個數的下界估計，這個估計在流形是秩為1的緊對稱空間時是最佳的。
13、緊緻光滑四維流形的最小虧格問題
項目組成員戴波與合作者研究了$b_2^+=1$的四維緊緻光滑流形中的嵌入曲面的最小虧格問題，利用Seiberg-Witten不變數的穿牆公式給出了一個僅依賴於四維流形的上同調環結構的最小虧格估計。在一些情況下證明了這個估計是最佳的。這一結果是$b_2^+=1$的四維流形的最小虧格問題在沒有辛結構條件下的最一般結果。
此外，戴波與人合作研究了四維辛流形中的不可定向拉格朗日曲面，得到了如下結果：1.任意四維辛流形(X，ω)的每個Z2係數二維同調類都可以表示為嵌入不可定向拉格朗日曲面；2.當X是四維有理流形時，確定了代表同調類的嵌入不可定向拉格朗日曲面的所有虧格。
五年中，項目組共發表研究論文28篇，完成論文預印本6篇，其中多篇論文發表在Advance in Mathematics，Comm.Math.Phys，J of DifferentialGeometry等雜誌上。項目組還獲得多項榮譽和獎項：項目組成員陳柏輝獲2018年四川省科技進步一等；項目組成員郭帥獲2019年求是青年科學學者獎；項目組成員劉小博、郭帥、陳柏輝於2019年獲基金委重大項目《幾何結構與拓撲不變數》資助。
標題 | 類型 | 作者 |
|---|---|---|
TWO CLOSED GEODESICS ON COMPACT SIMPLY CONNECTED BUMPY FINSLER MANIFOLDS | 期刊論文 | Duan, Huagui(#)(*) Long, Yiming Wang, Wei |
Existence of closed characteristics on compact convex hypersurfaces in R-2n | 期刊論文 | Wang, Wei(#)(*) |
Weighted-blowup correspondence of orbifold Gromov-Witten invariants and applications | 期刊論文 | Chen, Bohui(#) Du, Cheng Yong(*) Hu, Jianxun |
Minimizers of anisotropic Rudin-Osher-Fatemi models | 期刊論文 | Jia, Ruiling(#) Jiang, Meiyue(*) |
Minimal genus for 4-manifolds with b(+)=1 | 期刊論文 | Dai, Bo(#)(*) Ho, Chung-I Li, Tian-Jun |
Connecting the Kontsevich-Witten and Hodge Tau-functions by the $GL(infty)$ Operators | 期刊論文 | Xiaobo Liu(#) Gehao Wang(*) |
Non-hyperbolic Closed Characteristics on Non-degenerate Star-shaped Hypersurfaces in R2n | 期刊論文 | Hua Gui DUAN(#)(*) Hui LIU Yi Ming LONG Wei WANG |
2 pi-PERIODIC SELF-SIMILAR SOLUTIONS FOR THE ANISOTROPIC AFFINE CURVE SHORTENING PROBLEM II | 期刊論文 | Jiang, Meiyue(#)(*) Wei, Juncheng |
Genus-One Mirror Symmetry in the Landau-Ginzburg Model | 期刊論文 | Shuai Guo(#)(*) Dustin Ross |
Genus one GW invariants of quintic threefolds via MSP localization | 期刊論文 | Huai-Liang Chang(#) Shuai Guo Wei-Ping Li Jie Zhou(*) |
The genus-one global mirror theorem for the quintic 3-fold | 期刊論文 | Guo, Shuai(#)(*) Ross, Dustin |
人才培養
項目執行期間共培養博士生8名、碩士生10名。多名博士生在就讀期間做出了創造性的工作。如王新在博士就讀期間，與導師劉小博合作證明了半單上同調場論中Dubrovin-劉思齊-張友金關於虧格為2的G-函式的猜想，文章分別於2015年發表在Transactions of AmericanMathematical Society上和Advances in Mathematics上。博士生鄔龍挺在導師劉小博指導下完成的畢業論文中證明了虧格三情形的Maulik-Pandharipande關於五次Calabi-Yau超曲面上Gromov-Witten不變數可遞歸計算的猜想。此工作已發表在Advances in Mathematics上。
項目組還引進和指導4名博士後。這幾位博士後在站工作期間取得了一定的學術成績。如王戈浩在博士後期間與合作導師劉小博合作證明了Alexandrov猜想。該項工作於2016年發表在Communications in Mathematical Physics上。
培養類別 | 名單 |
|---|---|
出站後博士 | 王戈浩、林藝傑、瞿楓、方飛 |
畢業博士 | 王新、鄔龍梃、向茂松、余海江、王楚 |
畢業碩士 | 李治中、周貝加、張淑英、姜磊、徐璐、廖阿黎、孟令宇 |
在讀博士 | 李榮剛、楊成浪、季策 |
在讀碩士 | 張懷公、楊陽、蔡智深 |
合作交流
項目期間，課題組成員與多名中國國內外學者建立了合作關係，舉辦了眾多研討會和國際會議，在北京國際數學研究中心長期舉辦每星期兩小時的“辛幾何與數學物理討論班”，邀請了一批國際專家來北京大學講學，促進了國際交流和自身的學術發展。同時，課題組成員多次受邀在國際大學和研究所作重要學術演講。
人員合作
劉小博與美國加州大學Irvine分校滕楚蓮教授進行合作；
學術交流
- 組織會議
時間 | 會議名稱 | 會議地點 |
|---|---|---|
2015年6月1-5日 | Workshop on Non-abelian Gauged Linear SigmaModel and Geometric Representation Theory | 北京國際數學中心 |
2015年11月9-13日 | The Workshop on 6D Gauged Theory andInvariants of 4-manifolds | |
2015年11月2-3日 | BICMR-HCM workshop "Beiing meets Bonn"，Max-Planck Institute for Mathematics | 德國 |
2016年5月23-27 日 | 辛幾何與數學物理研討會 | 北京國際數學中心 |
2016年10月31-11月4日 | First BICMR & IBS-CGP Joint Workshop on Symplectic Geometry | 韓國濟州 |
2017年9月18-22日 | Second BICMR & IBS-CGP Joint Workshop onSymplectic Geometry | 北京國際數學中心 |
2018年6月4-8日 | Silk Road Geometry Conference, GokovaGeometry and Topology Institute | 土耳其 |
2019年4月8-12日 | Higher Genus Gromov-Witten invariants ofCalabi-Yau threefold | 北京國際數學研究中心 |
2019年9月9-12日 | Beiing. Zurich Moduli Workshop | |
2019年9月24-26日 | "Third BICMR & IBS-CGP Joint Workshop onSymplectic Geometry"，Institute of Basic Sciences，Pohang | 韓國 |
項目資金
金額單位：萬元 | |||||
科目名稱 | 預算數 | 累計支出數 | 結餘 | ||
批准預算 | 預算調整數 | 調整後預算 | |||
（1） | （2） | （3）=（1）+（2） | （4） | （5）=（3）-（4） | |
合計 | 260 | 0. 0000 | 260. 0000 | 168. 3225 | 91.6775 |
1、設備費 | 25. 0000 | 0. 0000 | 25. 0000 | 10. 1587 | 14. 8413 |
（1）設備購置費 | 18. 0000 | 0. 0000 | 18. 0000 | 10.1587 | 7.8413 |
（2）設備試製費 | 0. 0000 | 0. 0000 | 0. 0000 | 0. 0000 | 0. 0000 |
（3）設備升級改造與租賃費 | 7. 0000 | 0. 0000 | 7. 0000 | 0. 0000 | 7. 0000 |
2、材料費 | 12. 0000 | 0. 0000 | 12. 0000 | 3.9391 | 8. 0609 |
3、測試化驗加工費 | 26. 0000 | 0. 0000 | 26. 0000 | 0. 0000 | 26. 0000 |
4、燃料動力費 | 10.000 | 0. 0000 | 10. 0000 | 0. 0000 | 10. 0000 |
5、差旅/會議/國際合作與交流費 | 91. 0000 | 0. 0000 | 91. 0000 | 88.7252 | 2.2748 |
6、出版/文獻/信息傳播/智慧財產權事務費 | 12. 0000 | 0. 0000 | 12. 0000 | 7.7731 | 4. 2269 |
7、勞務費 | 26. 0000 | 0. 0000 | 26. 0000 | 1.7414 | 14. 2586 |
8、專家諮詢費 | 0. 0000 | 0. 0000 | 0. 0000 | 0. 0000 | 0. 0000 |
9、其他支出 | 45. 0000 | 0. 0000 | 45. 0000 | 32.9850 | 12. 0150 |
10、管理費（2014年及以前批准項目） | 13. 0000 | 0. 0000 | 13. 0000 | 13. 0000 | 0. 0000 |
註：該表中（1）（3）（5）欄為項目系統自動生成，不需項目負責人填寫；2.該表中（2）欄填列經批准的預算調整數；3.該表中（4）欄填列項目的實際支出數。 | |||||
項目成員
劉小博，教授，北京國際數學中心副主任。
郭帥，北京大學數學科學學院副教授。
陳柏輝，教授，四川大學數學學院副院長。
王嵬，北京大學數學科學學院教授。
戴波，北京大學數學科學學院副教授。
蔣美躍，北京大學數學科學學院教授。
