超平面截面叢(hyperplane section bundle )是Pn(C)中全純線叢的對偶叢。設L⊂Pn(C)×Cn+1表示集合{(l，z)|l∈Pn(C)，z∈l}，Pn(C)上的射影誘導一個射影π：L→Pn(C)。可以驗證，L有n+1維複流形結構，π是全純的，且L有Pn(C)上的全純線叢的自然結構，稱L*的對偶叢L為Pn(C)的超平面截面叢，記為H。
基本介紹
- 中文名：超平面截面叢
- 外文名：hyperplane section bundle
- 領域：數學
- 曲面：黎曼曲面
- 性質：對偶叢
- 對象：全純線叢
概念,全純線叢,黎曼曲面,
概念
超平面截面叢(hyperplane section bundle )是Pn(C)中全純線叢的對偶叢。設L⊂Pn(C)×Cn+1表示集合{(l，z)|l∈P(C)，z∈l}，Pn(C)上的射影誘導一個射影π：L→Pn(C)。可以驗證，L有n+1維複流形結構，π是全純的，且L有Pn(C)上的全純線叢的自然結構，稱L*的對偶叢L為Pn(C)的超平面截面叢，記為H。
全純線叢
全純線叢是轉換函式為全純函式的複線叢。設E是黎曼曲面M上的一個複線叢，θij：Uij→GL(C)是E的轉換函式。若θij都是全純函式，則稱E為M上的一個全純線叢。
全純函式是能局部展成冪級數的函式，它是複變函數論研究的主要對象。解析函式類包括了數學及其在自然科學和技術套用中所遇到的大多數函式，這類函式關於算術、代數和分析的各種基本運算是封閉的，解析函式在其自然存在的域中代表唯一的一個函式，因此，對解析函式的研究具有特殊的重要性。
對解析函式的系統研究開始於18世紀。歐拉在這方面做出許多貢獻。拉格朗日最早希望建立系統的解析函式理論，他曾試圖利用冪級數的工具來發展這種理論，但未獲成功。
法國數學家柯西以他自己的工作被公認為是解析函式理論的奠基者。1814年他定義正則函式為導數存在且連續，他批判了過去許多錯誤的結果，創立了若干法則，以保證級數運算的可靠性。1825年他得到了著名的柯西積分定理，隨後又建立了柯西積分公式。柯西利用這些工具得到了正則函式在它的定義域內處處可表為收斂的冪級數的結果，其逆命題亦真。所以解析和正則是等價的。後來黎曼對柯西的工作做出了重要的發展。1900年，法國數學家古爾薩改善了正則函式的定義，只要求函式在定義域中處處有導數。
外爾斯特拉斯以冪級數為出發點開展對解析函式的研究。他定義正則函式為可以展開為冪級數的函式，創立了解析開拓理論，並利用解析開拓定義完全解析函式。柯西的方法限於研究完全解析函式的所謂單值分支，必須通過解析開拓才能和外爾斯特拉斯的理論統一起來。
黎曼曲面
黎曼的原始思想是想為多值函式構造一個適當的定義場所，使它成為一個完整的單值解析函式。黎曼曲面的構造有效地實現了黎曼的想法。函式ω=z是多值的，對於z的每一個值，有ω的兩個值。為了研究這個函式並保持兩個值集和-分開，黎曼給每一個分支引進一個z值平面，這兩個平面一個位於另一個的上方，並且在z=0和z=∞處連結在一起。由這兩葉z平面組成的集合叫做黎曼平面。z在黎曼面上取值，ω就成為z的一個單值函式。對於更複雜的多值函式，黎曼面也就更複雜。
黎曼面的引入，使關於單值函式的定理可以推廣到多值函式。黎曼曲面的經典理論在此基礎上建立並發展起來。
德國數學家外爾首先給出黎曼曲面的近代定義。與此同時，他給出一維複流形的第一個嚴格的定義和有關理論。根據外爾的觀點，黎曼曲面就是一維的複流形。這個定義的引入大大地開擴了複變函數論的研究範圍，使複變函數論與眾多的現代數學分支建立起密切聯繫，如多複變函數論、複流形、代數幾何學、代數數論、自守函式等。
