超圓法

超圓法是解數學物理問題的一種近似方法，是美國的W.普拉格和J.L.辛格於1947年在討論彈性靜力問題時提出的。

基本介紹

• 中文名：超圓法
• 外文名：Method of hypercircle
• 提出者：美國的W.普拉格和J.L.辛格
• 提出時間：1947年

介紹

超圓法解數學物理問題的一種近似方法，是美國的W.普拉格和J.L.辛格於1947年在討論彈性靜力問題時提出的。辛格後來又把它推廣套用於一般數學物理邊值問題。實質上超圓法是一種函式空間方法，其特點是將泛函分析的解析概念形象化。用它能具體地給出問題精確解的上下界。超圓法屬於泛函分析的範疇，在用它處理實際問題時，須解決下面三個問題：①選擇什麼函式或函式集合來對應於函式空間的一個點或矢量；②確定函式空間中合適的數量積的定義，並給出函式空間的度量；③定義鬆弛問題，即定義函式空間中的全伴矢量、余矢量和齊次相伴矢量。

用超圓法解彈性靜力問題時，所選擇的是實線性應力空間，空間中一個點P代表彈性體內一點的應力狀態σ_iy，用函式集合σiy定義函式空間內一點P,它可用自原點O(σiy=0)到點P的位置矢量代表。其次，用應變能的兩倍定義函式空間中兩個矢量的數量積。再次,令S代表滿足彈性力學的平衡方程、應變協調方程和全部邊界條件的精確解；S'代表僅滿足平衡方程和應力邊界條件的基本應力解,即全伴矢量；S''代表僅滿足應變協調方程和位移邊界條件的基本位移解，即余矢量；（p=1，2，…，m）代表滿足自身平衡方程和零應力邊界條件的標準正交齊次應力矢量；（q=1，2，…，m）代表滿足應變協調方程和零位移邊界條件的標準正交齊次位移矢量。這樣，彈性靜力問題的解矢量S的端點就在圓心為C、半徑為R的超圓Г上，Г的方程為：

S=C+RJ， J·J=1，

式中J是滿足下述正交條件的單位參數矢量(即J被限制在一個超平面上)：

J*=0（p=1，2，…，m），

J*=0（q=1，2，…，n）；

而C和R由下列等式確定：

C和R列等式

Г上的矢量S滿足不等式：

|S₁|≤|S|≤|S₂|，

S₁和S₂分別為Г上離應力空間原點最近和最遠的點的矢量,它們可由下式確定：

上離應力空間原點最近和最遠的點的矢量公式

式中矢量G為：

矢量公式

式中I_r（r=1，2，…，m+n）代表和的全部集合,它也是函式空間中的一組標準正交矢量。下圖在三維空間中表示出C、S、S₁和S₂之間的幾何關係。超圓法就是按上述過程找到S₁和S₂，並以它們作為真實應力矢量S的上、下界。