基本介紹
- 中文名：費爾巴赫定理
- 外文名：Feuerbach's theorem
- 提出者：費爾巴赫
- 提出時間：1822年
- 套用學科：數學
簡介,表現形式,
簡介
費爾巴赫定理 三角形的九點圓與內切圓內切，而與旁切圓外切。
此定理由德國數學家費爾巴赫（K·W·Feuerbach，1800—1834）於1822年提出。
費爾巴赫
表現形式
在不等邊△ABC中,設O,H,I,Q,Ia分別表示△ABC的外心，垂心，內心，九點圓心和∠A所對的旁切圓圓心.s,R,r,ra分別表示△ABC的半周長，外接圓半徑，內切圓半徑和∠A所對的旁切圓半徑,BC=a,CA=b,AB=c.
易得∠HAO=|B-C|,∠HAI=∠OAI=|B-C|/2;
AH=2R*cosA,AO=R,AI=√[(s-a)bc/s],AIa=√[sbc/(s-a)]
在△AHI中，由余弦定理可求得:
HI^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2;
在△AHO中，由余弦定理可求得:
HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2;
在△AIO中，由余弦定理可求得:
OI^2=R(R-2r).
∵九點圓心線上段HO的中點,
∴在△HIO中，由中線公式可求得.
4IQ^2=2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+
2(R^2-2Rr)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)
=(R-2r)^2
故IQ=(R-2r)/2.
又△ABC的九點圓半徑為R/2,
所以九點圓與內切圓的圓心距為
d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ.
因此 三角形的九點圓與內切圓內切。
在△AHIa中，由余弦定理可求得:
IaH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2(ra)^2;
在△AOIa中，由余弦定理可求得:
IaO^2=R(R+2ra).
在△HIaO中，由中線公式可求得.
4IaQ^2=2(4R^2+4Rr+r^2-s^2+2ra^2)+2(R^2+2Rra)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R+2ra)^2
故IaQ=(R+2ra)/2.
九點圓與∠A的旁切圓的圓心距為
d=R/2+ra=(R+2ra)/2=IaQ.
故三角形的九點圓與∠A的旁切圓外切。
因此 三角形的九點圓與旁切圓外切。
