基本介紹
- 中文名：貝葉斯公式
- 外文名：Bayes Rule
- 表達式：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)
- 提出者：Thomas Bayes
- 提出時間：1763年《機會學說中一個問題的解》
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：機率論
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定義
貝葉斯的統計學中有一個基本的工具叫貝葉斯公式、也稱為貝葉斯法則， 儘管它是一個數學公式，但其原理毋需數字也可明了。如果你看到一個人總是做一些好事，則那個人多半會是一個好人。這就是說，當你不能準確知悉一個事物的本質時，你可以依靠與事物特定本質相關的事件出現的多少去判斷其本質屬性的機率。 用數學語言表達就是：支持某項屬性的事件發生得愈多，則該屬性成立的可能性就愈大。
所謂貝葉斯公式，是指當分析樣本大到接近總體數時，樣本中事件發生的機率將接近於總體中事件發生的機率。但行為經濟學家發現，人們在決策過程中往往並不遵循貝葉斯規律，而是給予最近發生的事件和最新的經驗以更多的權值，在決策和做出判斷時過分看重近期的事件。面對複雜而籠統的問題，人們往往走捷徑，依據可能性而非根據機率來決策。這種對經典模型的系統性偏離稱為“偏差”。由於心理偏差的存在，投資者在決策判斷時並非絕對理性，會行為偏差，進而影響資本市場上價格的變動。但長期以來，由於缺乏有力的替代工具，經濟學家不得不在分析中堅持貝葉斯法則。
原理
貝葉斯法則
通常，事件A在事件B(發生)的條件下的機率，與事件B在事件A的條件下的機率是不一樣的；然而，這兩者是有確定的關係,貝葉斯法則就是這種關係的陳述。
作為一個規範的原理，貝葉斯法則對於所有機率的解釋是有效的；然而，頻率主義者和貝葉斯主義者對於在套用中機率如何被賦值有著不同的看法：頻率主義者根據隨機事件發生的頻率，或者總體樣本裡面的個數來賦值機率；貝葉斯主義者要根據未知的命題來賦值機率。一個結果就是，貝葉斯主義者有更多的機會使用貝葉斯法則。
其中P(A|B)是在B發生的情況下A發生的可能性。
為完備事件組，即
在貝葉斯法則中，每個名詞都有約定俗成的名稱：
Pr(A)是A的先驗機率或邊緣機率。之所以稱為"先驗"是因為它不考慮任何B方面的因素。
Pr(B|A)是已知A發生後B的條件機率，也由於得自A的取值而被稱作B的後驗機率。
Pr(B)是B的先驗機率或邊緣機率，也作標準化常量（normalized constant）。
按這些術語，Bayes法則可表述為：
後驗機率 = (似然度 * 先驗機率)/標準化常量 也就是說，後驗機率與先驗機率和似然度的乘積成正比。
另外，比例Pr(B|A)/Pr(B)也有時被稱作標準似然度（standardised likelihood），Bayes法則可表述為：
後驗機率 = 標準似然度 * 先驗機率。
貝式定理
對於變數有二個以上的情況，貝式定理亦成立。例如：
P(A|B,C)=P(B|A)*P(A)*P(C|A,B)/(P(B)*P(C|B))
這個式子可以由套用多次二個變數的貝氏定理及條件機率的定義導出。
意義
例如：一座別墅在過去的 20 年裡一共發生過 2 次被盜，別墅的主人有一條狗，狗平均每周晚上叫 3 次，在盜賊入侵時狗叫的機率被估計為 0.9，問題是：在狗叫的時候發生入侵的機率是多少？
我們假設 A 事件為狗在晚上叫，B 為盜賊入侵，則以天為單位統計，P(A) = 3/7，P(B) = 2/(20*365) = 2/7300，P(A|B) = 0.9，按照公式很容易得出結果：P(B|A) = 0.9*(2/7300) / (3/7) = 0.00058
另一個例子，現分別有 A、B 兩個容器，在容器 A 里分別有 7 個紅球和 3 個白球，在容器 B 里有 1 個紅球和 9 個白球，現已知從這兩個容器里任意抽出了一個紅球，問這個球來自容器 A 的機率是多少?
假設已經抽出紅球為事件 B，選中容器 A 為事件 A，則有：P(B) = 8/20，P(A) = 1/2，P(B|A) = 7/10，按照公式，則有：P(A|B) = (7/10)*(1/2) / (8/20) = 0.875
貝葉斯公式為利用蒐集到的信息對原有判斷進行修正提供了有效手段。在採樣之前，經濟主體對各種假設有一個判斷（先驗機率），關於先驗機率的分布，通常可根據經濟主體的經驗判斷確定（當無任何信息時，一般假設各先驗機率相同），較複雜精確的可利用包括最大熵技術或邊際分布密度以及相互信息原理等方法來確定先驗機率分布。
舉例
貝葉斯法則的舉例分析
可以將貝葉斯法則的分析思路表達如下。
挑戰者B不知道原壟斷者A是屬於高阻撓成本類型還是低阻撓成本類型，但B知道，如果A屬於高阻撓成本類型，B進入市場時A進行阻撓的機率是20%（此時A為了保持壟斷帶來的高利潤，不計成本地拚命阻撓）；如果A屬於低阻撓成本類型，B進入市場時A進行阻撓的機率是100%。
博弈開始時，B認為A屬於高阻撓成本企業的機率為70%，因此，B估計自己在進入市場時，受到A阻撓的機率為：
0.7×0.2+0.3×1=0.44
0.44是在B給定A所屬類型的先驗機率下，A可能採取阻撓行為的機率。
當B進入市場時，A確實進行阻撓。使用貝葉斯法則，根據阻撓這一可以觀察到的行為，B認為A屬於高阻撓成本企業的機率變成A屬於高成本企業的機率=0.7（A屬於高成本企業的先驗機率）×0.2（高成本企業對新進入市場的企業進行阻撓的機率）÷0.44=0.32
根據這一新的機率，B估計自己在進入市場時，受到A阻撓的機率為：
0.32×0.2+0.68×1=0.744
如果B再一次進入市場時，A又進行了阻撓。使用貝葉斯法則，根據再次阻撓這一可觀察到的行為，B認為A屬於高阻撓成本企業的機率變成。
A屬於高成本企業的機率=0.32（A屬於高成本企業的先驗機率）×0.2（高成本企業對新進入市場的企業進行阻撓的機率）÷0.744=0.086
這樣，根據A一次又一次的阻撓行為，B對A所屬類型的判斷逐步發生變化，越來越傾向於將A判斷為低阻撓成本企業了。
以上例子表明，在不完全信息動態博弈中，參與人所採取的行為具有傳遞信息的作用。儘管A企業有可能是高成本企業，但A企業連續進行的市場進入阻撓，給B企業以A企業是低阻撓成本企業的印象，從而使得B企業停止了進入地市場的行動。
應該指出的是，傳遞信息的行為是需要成本的。假如這種行為沒有成本，誰都可以效仿，那么，這種行為就達不到傳遞信息的目的。只有在行為需要相當大的成本，因而別人不敢輕易效仿時，這種行為才能起到傳遞信息的作用。
傳遞信息所支付的成本是由信息的不完全性造成的。但不能因此就說不完全信息就一定是壞事。研究表明，在重複次數有限的囚徒困境博弈中，不完全信息可以導致博弈雙方的合作。理由是：當信息不完全時，參與人為了獲得合作帶來的長期利益，不願過早暴露自己的本性。這就是說，在一種長期的關係中，一個人乾好事還是幹壞事，常常不取決於他的本性是好是壞，而在很大程度上取決於其他人在多大程度上認為他是好人。如果其他人不知道自己的真實面目，一個壞人也會為了掩蓋自己而在相當長的時期內做好事。
