譜方法

譜方法其要點是把解近似地展開成光滑函式 的有限級數展開式，即所謂解的近似譜展開式，譜方法的精度，直接取決於級數展開式的項數。

基本介紹

• 中文名：譜方法
• 譜方法的精度：直接取決於級數展開式的項數
• 展開形式：光滑函式
• 技術支持：快速傅立葉變換技術

概述

解偏微分方程的一種數值方法。其要點是把解近似地展開成光滑函式(一般是正交多項式)的有限級數展開式，即所謂解的近似譜展開式，再根據此展開式和原方程，求出展開式係數的方程組。對於非定常問題，方程組還同時間t有關。譜方法實質上是標準的分離變數技術的一種推廣。一般多取切比雪夫多項式和勒讓德多項式作為近似展開式的基函式。對於周期性邊界條件，用傅立葉級數和面調和級數比較方便。譜方法的精度，直接取決於級數展開式的項數。

算例

現以解簡單一維熱傳導方程的初邊值混合問題為例，說明這種方法的套用：

邊界條件　u(0,t)=u(π,t)=0，　 (2)

初始條件　u(x,0)=g(x)，　 (3)

式中x為坐標；t為時間；a為大於零的常數。根據周期性邊界條件，可取近似譜展開式為：

把式(4)代入式(1)得：

利用快速傅立葉變換技術,可迅速完成求解過程,而且(4)至(6)式比任何有限階的有限差分解，都更快地收斂到(1)至(3)的真解。一般說，譜方法遠比普通一、二階差分法準確。由於快速傅立葉變換之類的技術不斷發展，譜方法的運算量越來越少，一般是很合算的。特別是對於二維以上的問題，用差分法計算必須設定足夠多的格線點，造成計算量的增加，而用譜方法一般不需取太多的項就可得到較高精度的解。因此譜方法在計算流體力學複雜流場的問題中有廣泛套用。