基本介紹
- 中文名：計數原理
- 外文名：Counting principle
- 基本原理：加法原理、乘法原理
- 性質：原理
- 用途：證明二項式定理
- 套用學科：離散數學、組合數學
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兩個基本原理
加法原理
如果一個目標可以在n種不同情況下完成，第k種情況又有
種不同方式來實現
，那么實現這個目標總共有
種方法。
注意事項：
（1）每種方式都能實現目標，不依賴於其他條件；
（2）每種情況內任兩種方式都不同時存在；
（3）不同情況之間沒有相同方式存在。
乘法原理
如果實現一個目標必須經過n個步驟，第k步又可以有 種不同方式來實現 ，那么實現這個目標總共有
種方法。
注意事項：
（1）步驟可以分出先後順序，每一步驟對實現目標是必不可少的；
（2）每步的方式具有獨立性，不受其他步驟影響；
（3）每步所取的方式不同，不會得出（整體的）相同方式。
兩個原理異同
加法原理和乘法原理的關鍵點在於區分是分類還是分步。
相同點
加法原理和乘法原理一樣，都是回答有關一件事的不同方法種數的問題。
區別點
加法原理是完成這件事的分類計數方法，每一類都可以獨立完成這件事；乘法原理是完成這件事的分步計數方法，每個步驟都不能獨立完成這件事。
套用這兩個原理解題，首先應該分清要完成的事情是什麼，然後需要區分是分類完成還是分步完成，“類”間相互獨立，“步”間相互聯繫。
典例
例1
求以下要求的計數。
A：大於0小於10的偶數；
B：大於0小於10的奇數；
C：大於0小於10的整數；
D：大於0小於10的質數。
E：大於0小於10的質數或偶數。
解：
（1）A={2,4,6,8}，|A|=4；
（2）B={1,3,5,7,9}，|B|=5；
（3）C=A∪B，|C|=|A|+|B|=9；
（4）D={1,2,3,5,7}，|D|=5；
（5）E=A∪D，但質數與偶數並不互斥，有一個公共元素2，故有|E|=|A|+|D|-1=4+5-1=8。
例2
從A地到B地共有3種方法，從B地到C地共有兩種方法，問從A地到C地共有多少種方法。
解：要從A地到C地，需要先從A到B，再從B到C，且A到B的3種方法和B到C的2種方法互不干擾，故總共有3×2=6種方法。
