設D是複平面上由光滑簡單閉曲線所圍成的區域，P是D的邊界上的一個點，考慮以P 為頂點其兩邊的接近頂點的部分都包含在D內的角域，則通過這樣的角域到達點P的曲線，稱為以P為終點的斯托爾茨路徑(得名於奧地利數學家斯托爾茨(Otto Stolz，1842-1905)。設復值函式w= f(z)在區域|z|<1即單位圓內全純，如果當z沿以單位圓周上的點z0為終點的斯托爾茨路徑趨近於z0時，f(z)一致收斂到f(z0)，且有limz→z0(f(z)-f(z0))/(z-z0)=k，則k稱為f(z)在點z0處的角微商(angular derivative)。對於區域是Re z>0(Re表示複數的實部) 等情形，可以同樣地定義角微商。
基本介紹
- 中文名：角微商
- 外文名：angular derivative
- 所屬學科：數學
- 相關概念：斯托爾茨路徑，全純等
- 相關人物：G.Julia(1920)，J.Wolff(1926)等
基本介紹,相關結論,
基本介紹
設
在
內全純，如果沿以單位圓周上的點
為終點的Stolz道路
時，一致地有
，且極限
存在，則稱D為
在
處的角微商(angular derivative)。
在域是半平面
的情形，對虛軸上的點
也可同樣地定義角微商。但是，當
時，在上式中要用
代替
，而當
時，要用
代替
，在後面這種情形，Stolz道路理解為包含於角域
內的趨於
的道路。角微商的研究由G.Julia(1920)，J.Wolff(1926)開始，而由Carathéodory(1929)，E.Landau-G，Valiron(1929)推進。
相關結論
關於角微商的基本定理可敘述如下：若在內全純的函式
滿足
，則存在常數
，使當z沿Stolz道路趨於
時，一致地有
和
；且對任意的正整數p，對於的p階導數
，還一致地成立
。此外，在內，處處成立
。單位圓的情形也有類似的定理。
對於保角映射理論，研究把
平面上的單位圓(或半平面)D映射到
平面的單連通域B上的函式
，在D的邊界上的一點
處具有非零的有限角微商的條件，也即在邊界上兼有保角性和線素比不變性的條件，是重要的。Carathéodory指出，使這一點成立的一個充分條件是：存在分別在B的外部和內部的兩個圓周，它們在B的邊界點
處互相外切或內切。接著，L.Ahlfors利用關於帶形域的畸變定理，導出了角微商存在的充分必要條件，Wolff在保角映射的疊代的研究中套用了角微商。
