莫爾斯函式

莫爾斯函式是微分拓撲學的一個重要函式。微分流形M上的光滑函式f:M→R，若f所有的臨界點都是非退化的，則稱為莫爾斯函式。

基本介紹

• 中文名：莫爾斯函式
• 外文名：Morsef unction
• 適用範圍：數理科學

簡介

莫爾斯函式是微分拓撲學的一個重要函式。

非退化臨界點

微分流形M到R的函式，其臨界點都是非退化的。設M是n維微分流形，f:M→R為C^∞函式，p∈M是f的臨界點，(U,φ)是M的含p的卡，坐標函式為(x₁,x₂,...,x_n)，則

記

稱為f關於卡(U,φ)在p處的海賽矩陣。若海賽矩陣H_f(p)非退化，則稱p是f的非退化臨界點，此時H_f(p)的負特徵值個數稱為p的指數。臨界點p的非退化性及指數與含p的卡的選取無關。

定義

下述著名的莫爾斯引理給出光滑函式f在非退化的臨界點鄰域的局部性質。

設p∈M是C^∞映射f:M→R的指數為r的非退化臨界點，則存在M的含p的卡，使得φ(p)=0，並且∀u=(u₁,u₂,...,u_n)∈φ(U)，

微分流形M上的光滑函式f:M→R，若f所有的臨界點都是非退化的，則稱為莫爾斯函式。

性質

由莫爾斯引理知，當M是緊緻流形時，M上的莫爾斯函式僅有有限個臨界點。

對於任意微分流形M，M上的全體莫爾斯函式的集合在中是開的稠密子集。

套用

由於M上的莫爾斯函式與M的拓撲性質有密切關係，所以莫爾斯函式是一類有重要意義的函式，它的性質有著廣泛套用。例如，黎泊定理、緊緻曲面的拓卜分類等都用到它。