艾森斯坦級數

在數學中，艾森斯坦級數是一類可直接表成級數的模形式，由費迪南·艾森斯坦首創。對於一般的約化群，羅伯特·朗蘭茲也發展了相應的理論。

基本介紹

• 中文名：艾森斯坦級數
• 分類：模形式、級數
• 領域：數理科學

模群的艾森斯坦級數

固定整數 ，對上半平面上的複數 ，定義艾森斯坦級數 為：

此級數是上半平面上的全純函式，此外它更是模群 的權 模形式。換言之，若 滿足 ，則

遞迴關係

模形式理論中的一個基本事實是：模群 的模形式俱可表為 與 的多項式。作為特例，以下說明如何將艾森斯坦級數遞迴地表成 的多項式。

置 ，遂有下述關係式：

在此 是二項式係數而 。

函式 可以表示魏爾斯特拉斯 函式：

傅立葉展開

置 ，由於艾森斯坦級數是模群的模形式，故有傅立葉展開式：

其中的傅立葉係數 是

此處的 是伯努利數， 是黎曼ζ函式，而 是n的正因數的p次冪和。

當 ，對q之和亦可化成蘭伯特級數

有時也會考慮常數項等於一的艾森斯坦級數：

拉馬努金公式

拉馬努金給出了許多有趣的艾森斯坦級數關係式，定義：

則有：