膨脹原理

膨脹原理

在歐氏幾何學中,將一個命題中的某些點換成圓,將這些點中某兩點的連線換成兩圓的公切線,將兩點間的距離換成兩圓的公切線(或連心線)的長,將另一點和這些點的連線換成另一點到這些圓的切線,將另一點到這些點的距離換成另一點到這些圓的冪,經過這樣的更換後所得命題仍然成立,這就叫膨脹原理。

基本介紹

  • 中文名:膨脹原理
  • 外文名:Expansion principles
原理概述,原理的部分例證,

原理概述

在歐氏幾何學中,將一個命題中的某些點換成圓,將這些點中某兩點的連線換成兩圓的公切線,將兩點間的距離換成兩圓的公切線(或連心線)的長,將另一點和這些點的連線換成另一點到這些圓的切線,將另一點到這些點的距離換成另一點到這些圓的冪,經過這樣的更換後所得命題仍然成立,這就叫膨脹原理.
點P對已知圓O的冪p=OP^2-r^2,r為圓O的半徑.故P在圓O外,p為切線長的平方;P在圓上,p=0;P在圓內,AB為過P的任一弦,則p=PA*PB.

原理的部分例證

1.一個動點到兩個定點的距離相等,那么這動點的軌跡是一條直線,就是這兩定點連線的垂直平分線
將這個命題中的兩個定點膨脹成兩個圓,就得到下列命題:
一個動點到兩個圓的冪相等,那么這動點的軌跡是一條直線,就是這個圓的根軸.
2.一個動點到兩個定點的距離的平方和等於定值,那么這個動點的軌跡是一個
將這個命題中的兩個定點膨脹成兩個圓,就得到下列命題:
一個動點到兩個圓的冪的和等於定值,那么這個動點的軌跡是一個
3.一個動點到兩個定點的比等於定值,那么這個動點的軌跡是一個
將這個命題中的兩個定點膨脹成兩個圓,就得到下列命題:
一個動點到兩個圓的冪的比等於定值,那么這個動點的軌跡是一個
4.三角形的三個角的內外角平分線分別和對邊相交,共六個交點,這六個點分別在四條直線上,每條直線   上有兩個內分點和一個外分點或三個外分點.
將這個命題中的三角形的三個頂點膨脹成為三個圓,就得到下面定理:
如果三個圓的圓心不在一直線上,那么,每兩個圓的順位似心和逆位似心共六個點在四條直線上,每  條直線上有三點.
這裡的四條直線都叫做這三個圓的位似軸
5.三角形中,三條邊的垂直平分線交於一點,這個點就是三角形的外心.
在這個命題中,
(Ⅰ).使三角形的一個頂點膨脹成圓,就得到命題:
已知☉A和圓外兩點B、C,過B和C分別作☉A的切線BD、BD′、CE、CE′、D、D′、E、E′為切點,設這四條切線的中點為F、F′、G、G′,那么FF′和GG′的交點在BC的垂直平分線上.
(Ⅱ).使三角形的兩個頂點膨脹成圓,就得到命題:
已知☉B、☉C及其外一點A,過A作切線AD、AD′、AE、AE′分別切兩圓於D、D′、E、E′,設這四條切線的中點為F、F′、G、G′,又設☉B、☉C的兩條外公切線的中點為M、M′,那么FF′和GG′的交點在MM′上.
(Ⅲ).使三角形的三個頂點都膨脹成圓,就得到命題:
三個圓中,每兩個圓有一條根軸,這三條根軸交於一點,這個點就是這三個圓的根心.
6.△ABC中,MN是邊BC的垂直平分線,AQ⊥MN,Q為垂足,那么AB^2-AC^2=2BC●AQ.
當B、C兩點膨脹後分別成為圓☉O1和☉O2(半徑分別為r1t和r2)後,BC的垂直平分線換成☉O1和☉O2的根軸MN,AB和BC應當換成A點到☉O1和☉O2的切線AB和AC,作AD⊥O1O2,就有AB^2-AC^2=2O1O2●AN.
這就是說:一點關於兩圓的冪的差,等於連心線與由此至根軸的距離之積的二倍.這就是著名的casey定理.

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